4. Системы симметрических алгебраических уравнений.

Мы уже говорили, что иногда удается упростить решение системы алгебраических уравнений, удачно введя новые неизвестные. Этот путь решения приводит к успеху, если заданная система уравнений симметрична, то есть имеет вид:

— симметрические многочлены от и у. Простейшей системой такого вида является:

Будем рассматривать числа х и у как корни некоторого квадратного уравнения. Тогда по теореме Виета коэффициент при первой степени неизвестного в этом уравнении равен —а, а свободный член равен . Иными словами, квадратное уравнение с корнями х и у имеет вид:

Пусть корни этого уравнения . Тогда либо либо .

Рассмотрим теперь более сложную систему:

Так как левые части обоих уравнений симметрично зависят от х и у, то введем вместо х и у новые неизвестные

Выразим через эти неизвестные левые части уравнений (3). Мы получим:

и

Таким образом, заданная система свелась к следующей:

Сложив эти уравнения, получим квадратное уравнение относительно

Из него следует, что . Так как , то .

Поскольку , то наша система свелась к совокупности двух систем:

Решая первую систему, находим два решения:

Вторая система действительных решений не имеет.

Точно так же решается система уравнений:

Так как

то данную систему можно записать в виде:

Подставляя во второе уравнение значение , получаем квадратнее уравнение:

Из него находим, что Тем самым заданная система свелась к системам:

Решая первую систему, получаем:

Вторая же система не имеет действительных решений.

Выгода введения неизвестных состоит в том, что при такой замене понижается степень уравнения, поскольку имеет вторую степень относительно . Например, во втором разобранном примере система пятой степени свелась к квадратному уравнению.

Упражнение 34. Решить следующие системы уравнений:

(см. скан)