9. Системы однородных уравнений.

Назовем однородным многочленом относительно х и у степени если при замене х на и у на умножается на

Например, — однородный многочлен второй степени, а — однородный многочлен четвертой степени.

Пусть одно из уравнений системы имеет вид: где -однородный многочлен. Тогда решение системы сводится к решению двух уравнений, каждое из которых содержит лишь одно неизвестное. Покажем на примере, как это делается.

Пусть дана система уравнений:

Посмотрим сначала, есть ли у этого уравнения решения, для которых Подставляя в оба уравнения системы, получаем систему уравнений;

Эта система несовместна, так как из первого уравнения получаем а из второго

Итак, система не имеет решений, для которых Поэтому первое уравнение системы можно разделить на (в общем случае — на , где степень многочлена Мы получим уравнение:

Положим Мы придем к системе уравнений:

Корнями первого уравнения являются . Подставляя во второе уравнение получаем . Подставляя же

, получаем . Так как , то мы имеем следующие решения системы (1):

В следующем примере система имеет решения, для которых :

При первое уравнение обращается в равенство а второе принимает вид Из него находим Мы нашли уже два решения системы:

Другие решения получаются так же, как и в первом случае. Мы делим первое уравнение системы на (случай, когда и деление невозможно, уже рассмотрен) и заменяем у на . Получаем систему уравнений:

Из первого уравнения находим . Подставляя эти решения во второе уравнение и находя х, приходим к следующим решениям системы:

Задача. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Найти скорость катера в стоячей воде, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Решение. Сначала составим систему уравнений. В качестве неизвестных выберем скорость и катера в стоячей воде и скорость течения . Тогда скорость катера при движении по течению равна а при движении против течения . Значит,

чтобы пройти вниз по течению 96 км, ему надо часов, а вверх по течению часов. Всего он затратит часов. Но по условию задачи он вернулся назад через 14 часов. Значит,

Чтобы получить второе уравнение, найдем, какое время затратил катер до встречи с плотом. Он прошел 96 км вниз по течению и 72 км против течения. На это он затратил часов. Плот же проплыл 24 км со скоростью и затратил часов. Так как плот и катер одновременно отправились из А, то имеем уравнение

Мы получим систему уравнений:

При замене и на на обе части второго уравнения умножаются на Поэтому оно является однородным уравнением степени однородности — 1. Так как не удовлетворяет уравнению, мы можем положить . Тогда второе уравнение примет вид:

Освобождаясь от знаменателей, получим:

Так как , то . Следовательно, . Подставляя в первое уравнение системы, находим:

откуда

Поэтому .

Упражнение 8. Решите системы уравнений;

(см. скан)