6. Метод подстановки.

Теоремы относятся по сути дела к отдельным уравнениям, а не к системе в целом. При решении систем уравнений применяются также преобразования уравнений, затрагивающие не одно уравнение, а несколько. Например, для решения системы

мы находим из первого уравнения выражение у через и подставляем это выражение во второе уравнение. Решая полученное уравнение находим корни

Так как , то оба соответствующих значения неизвестного у равны 6. Значит, решение системы можно записать в виде:

Метод, которым была решена эта система, называется методом подстановки. Он позволяет сводить решение системы уравнений с двумя неизвестными к более простой задаче — решению одного уравнения с одним неизвестным. Выясним теперь, на чем же основан метод подстановки. Для этого докажем следующую теорему. Теорема 3. Система уравнений

равносильна системе уравнений

Доказательство. Пусть — решение системы уравнений (1). Тогда . Поэтому Равенства и является решением системы уравнений (2).

Обратно, пусть — решение системы уравнений (2). Тогда имеют место равенства Из них вытекает, что является решением системы уравнений (1).

Тем самым равносильность систем уравнений (1) и (2) доказана.

Из теорем 2 и 3 вытекает

Следствие. Если уравнение равносильно уравнению то система уравнений

равносильна системе уравнений

Мы уже говорили, что теорема 3 лежит в основе метода решения систем уравнений с двумя неизвестными, называемого методом исключения неизвестных. Он состоит в следующем.

Пусть задана система уравнений

Выразим из первого уравнения системы у через х, то есть заменим уравнение равносильным ему уравнением Полученное выражение для у подставим во второе уравнение, то есть заменим систему уравнений (1) равносильной ей системой

Уравнение является уже уравнением с одним неизвестным. Решая его, получим корни . Им соответствуют значения неизвестного у. В соответствии с этим получаем решения

заданной системы.

Часто приходится заменять уравнение не одним уравнением вида , а совокупностью

таких уравнений. Тогда и система (1) заменяется совокупностью систем

Из каждой системы этой совокупности получаем описанным выше методом решения заданной системы, после чего объединяем их. Примеры

1. Решить систему уравнений:

Из первого уравнения системы находим . Подставляя это значение во второе уравнение, получаем:

или, после упрощения,

Корнями этого биквадратного уравнения являются числа:

Им соответствуют значения:

Значит, решения заданной системы уравнений имеют вид:

2. Решить систему уравнений:

Из первого уравнения системы получаем:

Значит, нам надо решить совокупность двух систем уравнений:

Делая в первой системе подстановку, получаем:

или Решая (возведением в квадрат) это иррациональное уравнение, находим корни . Им соответствуют значения . Итак, первая система имеет решения:

Точно так же доказывается, что вторая система имеет решения:

Следовательно, заданная система имеет решения: