6. Теоремы о равносильности уравнений.

Сформулируем сначала условия, при которых одно уравнение является следствием другого уравнения. Потом из этих условий будут получены условия равносильности уравнений.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения

прибавить функцию имеющую смысл при всех допустимых значениях неизвестного х, то получится новое уравнение

являющееся следствием данного.

Доказательство. В самом деле, пусть а — корень уравнения (1). Тогда . Но является некоторым числом, так как по условию функция определена для всех допустимых значений , в частности, при Прибавим к обеим частям числового равенства число . Получим равенство

которое показывает, что число а является корнем уравнения (2). Таким образом, всякий корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), то есть уравнение (2) является следствием уравнения (1).

Условие, что функция определена при всех допустимых значениях х, существенно. Если не определено при , где а — решение уравнения (1), то уравнение (2) не является следствием уравнения (1) и уравнения (1) и неравносильны: является решением для (1), но не является решением для уравнения (2). Примером могут служить уравнения (6) и (7) из

Прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения не может привести к приобретению посторонних корней, если это прибавление не сопровождается приведением подобных членов или иными преобразованиями, меняющими область определения уравнения (например, сокращением дробей). Рассмотрим, например, уравнение

Если прибавить к обеим частям и привести подобные члены, то получим уравнение имеющее решение Это решение не принадлежит области определения исходного уравнения и потому не удовлетворяет ему.

Перейдем к вопросу об умножении обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

Теорема 2. Если обе части уравнения

умножить на функцию имеющую смысл при всех допустимых значениях х, то получится новое уравнение

являющееся следствием уравнения (3).

Доказательство. Пусть а — корень уравнения (3). Тогда справедливо равенство . Умножим обе части этого равенства на число . Мы получим числовое равенство . Оно показывает, что а является корнем и уравнения (4). Таким образом, всякий корень уравнения (3) является корнем уравнения (4), то есть (4) — следствие (3).

Из доказанных теорем следует, например, что уравнение

является следствием уравнения

Действительно, уравнение (5) получается из уравнения (6) прибавлением к обеим частям функции и умножением полученного уравнения на

Многочлены определены при всех значениях Поэтому прибавление к Обеим частям уравнения многочлена, равно как и умножение обеих частей

уравнения на многочлен, приводит к уравнению, являющемуся следствием исходного.

Оговорка о том, что должно иметь смысл при всех допустимых значениях х, существенна для справедливости теоремы 2. Рассмотрим, например, уравнение

и умножим обе части этого уравнения на Мы получим уравнение Оно уже не является следствием исходного: уравнение (7) имеет корни 2 и 3, а уравнение — лишь корень 3. Причиной потери корня явилось то, что функция — не определена при , а это значение как раз является корнем заданного уравнения.

Докажем теперь теоремы о равносильности уравнений. Чтобы доказать равносильность двух уравнений, надо показать, что первое из них является следствием второго, а второе — следствием первого.

Теорема 3. Если функция определена при всех допустимых значениях неизвестного х, то уравнения

и

равносильны.

Доказательство. Мы уже видели, что при условии теоремы уравнение (9) является следствием уравнения (8). Но уравнение (8) в свою очередь получается из уравнения (9) прибавлением к обеим частям функции и приведением подобных членов.

Так как функция определена при всех допустимых значениях х, то уравнение (8) является следствием уравнения (9). Тем самым доказано, что уравнения (8) и (9) равносильны.

Из доказанной теоремы вытекает правило перенесения слагаемых из одной части уравнения в другую: если некоторое слагаемое данного уравнения перенести из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

В самом деле, в силу теоремы 3 уравнения

и

равносильны: уравнение (11) получается путем прибавления функции к обеим частям уравнения (10) и приведения подобных членов.

Кратко правило перенесения слагаемых формулируют так: всякое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Из доказанной теоремы вытекает, что всякое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением вида . Для этого достаточно перенести в левую часть уравнения, заменив знак на противоположный, и положить

Теорема 4. Если функция определена для всех допустимых значений х и ни при одном допустимом значении х не обращается в нуль у то уравнения

и

равносильны.

Доказательств о. Мы уже видели (теорема 2), что уравнение (13) является следствием уравнения (12). Докажем, что уравнение (12) в свою очередь является следствием уравнения (13). Уравнение (12) получается из уравнения (13) умножением обеих частей на функцию Так как по условию функция определена для всех допустимых значений х и не обращается при этих значениях в нуль, то функция также определена при всех допустимых значениях х. Поэтому уравнение (12) является следствием уравнения (13), а значит, эти уравнения равносильны.

Из доказанной теоремы вытекает, например, что уравнения

и

равносильны в области действительных чисел. В самом деле, уравнение (15) получается из уравнения (14) умножением на функцию , а эта функция всюду определена и не обращается в нуль при действительных значениях х.

Уравнения же

и

не являются равносильными — второе получается из первого умножением на функцию эта функция обращается в нуль при . Поэтому второе уравнение, кроме корня

удовлетворяющего и первому уравнению, имеет еще и корни

Уравнения (12) и (13) могут быть неравносильными и в том случае, когда множитель теряет смысл при некоторых допустимых значениях неизвестного. Например, уравнения

и

неравносильны: множитель — теряет смысл при как раз является корнем уравнения

Если в ходе решения уравнения приходилось умножать обе части этого уравнения на выражение содержащее неизвестное, то надо проверить две вещи:

а) Не обращается ли в нуль при допустимых значениях неизвестного?

б) Не теряет ли смысл при некоторых допустимых значениях неизвестного?

В первом случае среди найденных корней могут оказаться посторонние корни, и надо проверить все найденные корни, удовлетворяют ли они первоначально заданному уравнению. Во втором же случае возможна потеря корней, и мы должны подставить в заданное уравнение значения неизвестного, при которых теряет смысл — среди этих значений могут оказаться потерянные в ходе решения корни уравнения.

Из теоремы 4 непосредственно вытекает справедливость утверждения: если обе части уравнения умножить на произвольное отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Это утверждение кратко формулируют так: обе части уравнения можно умножать на произвольное отличное от нуля число.