3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

В восьмилетней школе системы линейных уравнений (с двумя или тремя неизвестными) решаются или методом подстановки, или методом алгебраического сложения. Сейчас мы изложим метод Гаусса, очень близкий к методу алгебраического сложения, но отличающийся от него большей систематичностью. Покажем сначала этот метод на следующем примере.

Пусть надо решить систему уравнений:

Умножим первое уравнение системы на —2 и прибавим его ко второму, потом умножим первое уравнение на —5 и прибавим к третьему, наконец, умножим первое уравнение на —1 и прибавим к четвертому. Система уравнений примет вид:

Мы видим, что в результате преобразований неизвестное 4 осталось лишь в первом уравнении.

Теперь преобразуем тем же путем три последних уравнения. Умножим второе уравнение на —2 и прибавим к третьему, а потом умножим второе уравнение на —1 и прибавим к четвертому.

Наконец, умножим третье уравнение на — 1 и прибавим к четвертому. В результате получаем систему:

Системы такого вида называют треугольными.

Из теоремы 5 вытекает, что треугольная система (4) равносильна. исходной системе (1). Треугольную систему уравнений легко решить. Из последнего уравнения находим, что Подставляя это значение в третье уравнение, получаем откуда Далее, подставим во второе уравнение. Мы найдем, что Наконец, из первого уравнения вытекает, что Итак, заданная система имеет единственное решение