6. Многочлены второй степени.

Применим полученные общие результаты к многочленам второй степени . Корни этих многочленов выражаются формулой

известной из начальной алгебры.

Обозначим через Из формулы (1) видно, что если то оба корня многочлена действительны и различны. Если то эти корни совпадают (так как безразлично, будем мы прибавлять или вычитать нуль).

Наконец, если то многочлен не имеет действительных корней.

Рассмотрим случаи, когда многочлен имеет два действительных корня а и Тогда по доказанному выше он делится на многочлен второй степени Частное от деления этих многочленов — некоторое число. Тким образом,

Значение А получим, сравнив коэффициенты при Находим Итак, мы доказали, что если многочлен второй степени с имеет действительные корни а и , то

Разделим обе части этого равенства на а и выполним умножение в правой части равенства. Мы получим, что

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, получаем:

Итак, мы доказали следующее утверждение: сумма корней квадратного трехчлена с равна отношению коэффициентов при взятому с обратным знаком, а их произведение равно отношению свободного члена к коэффициенту при

Формулы (2) называют формулами Виета. Позже мы увидим, что они справедливы и в случае, когда корни многочлена с — комплексные числа.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)