5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней.
Многочлен 
степени
называется возвратным, если его коэффициенты, одинаково удаленные от начала и от конца, равны между собой. Иными словами, коэффициенты возвратного многочлена 
степени удовлетворяют условию 
Алгебраическое уравнение вида 
, где 
— возвратный многочлен, называют возвратным уравнением. Примерами таких уравнений являются:
Рассмотрим решение возвратных уравнений третьей и четвертой степеней. Возвратное уравнение третьей степени имеет вид:
Группируя члены, разложим выражение в левой части уравнения на множители:
Отсюда видно, что одним из корней уравнения (1) является 
. Два других корня получаются путем решения квадратного уравнения
Пример. Решить уравнение
Разлагая левую часть уравнения на множители, получаем:
Корни квадратного уравнения 
равны 
.
Поэтому корнями заданного уравнения являются числа 
Приведем пример задачи, сводящейся к разобранному типу уравнений.
Задача. Из квадратного листа жести со стороной а см вырезают по углам четыре квадратика со стороной х см и делают из получившейся фигуры коробку. При каком значении х объем коробки равен — 
Решение. Основанием коробки является квадрат со стороной 
, а ее высота равна х. Значит, объем коробки равен 
. По условию имеем уравнение:
или
Положим 
Мы получим для 
уравнение
Разлагая на множители, получаем
Поэтому корни нашего уравнения равны
Значит,
Из условия задачи следует, что 
Поэтому 
не удовлетворяет условию. Итак, либо 
либо 
Теперь рассмотрим возвратное уравнение 4-й степени:
Так как 
, то 
не является корнем этого уравнения. Поэтому если разделить обе части уравнения (2) на 
то получим равносильное уравнение:
Введем новое неизвестное 
положив 
. Так как 
то 
. Следовательно, уравнение (3) превращается в квадратное уравнение относительно 
Решив это уравнение, найдем его корни 
Чтобы найти х, остается решить совокупность уравнений:
Она сводится к совокупности квадратных уравнений:
Пример. Решить уравнение
Перепишем это уравнение в виде
и введем новое неизвестное 
. Получим уравнение:
или
Решая его, находим: 
. Чтобы найти корни уравнения (4), надо решить уравнения:
Из них получаем:
Наряду с уравнениями вида (1) и (2) рассматривают так называемые ко сосимметричные уравнения, или, иначе, возвратные уравнения второго рода. При 
они имеют вид:
Это уравнение сводится к
После этого вводят новое неизвестное по формуле 
. Так как 
то уравнение (6) сводится к квадратному уравнению 
. Дальнейшее решение ведется так же, как и для обычных возвратных уравнений.
Упражнения
11. Решить уравнения:
(см. скан)
