Глава V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа в алгебраической форме
1. Развитие понятия о числе.
При изучении математики мы не однократно встречались с обобщением понятия числа. Первоначально под числами понимали лишь натуральные числа 
Этих чисел достаточно для счета отдельных предметов. Кроме того, как мы знаем, множество 
натуральных чисел замкнуто относительно операций сложения и умножения — сумма и произведение натуральных чисел снова являются натуральными числами.
Однако разность двух натуральных чисел уже не всегда натуральное число. Чтобы сделать операцию вычитания неограниченно выполнимой, вводят числа нового вида — отрицательные целые числа, а кроме того, число нуль. В результате получается множество 
целых чисел. Это множество замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения, то есть является числовым кольцом (см. п. 6 § I гл. I).
Следующий шаг в расширении множества чисел связан с желанием сделать выполнимой операцию деления на любое число, отличное от нуля. Этот шаг приводит к множеству 
всех рациональных чисел. Множество 
замкнуто уже относительно всех четырех арифметических операций — сложения, вычитания, умножения и деления (исключая, конечно, операцию деления на нуль). Оно является, таким образом, числовым полем.
Необходимость дальнейшего расширения множества чисел диктовалась двумя причинами. Одна связана с практическими приложениями математики — рациональных чисел недостаточно, чтобы выразить результаты любых измерений. Вторая причина является чисто алгебраической — в множестве рациональных чисел не имеют решений такие уравнения, как 
хотя коэффициенты этих уравнений — целые числа. И если введение действительных чисел позволяет выражать результаты любых измерений, то с задачей решения уравнений дело обстоит иначе. Уравнения 
и в множестве действительных чисел не имеют
решения. Поэтому возникает необходимость в дальнейшем расширении понятия числа. Этому расширению, приводящему к понятию комплексного числа, и посвящена данная глава.
Выясним сначала, какие общие требования предъявляются при расширении понятия о числе. Предположим, что мы уже имеем некоторое множество чисел Л, в котором определены те или иные арифметические операции (например, множество целых чисел с операциями сложения, вычитания и умножения). Для того чтобы получить более широкое числовое множество, мы берем некоторое новое множество В. Вообще говоря, оно может не содержать множество А. Но во всяком случае должно быть установлено взаимно-однозначное соответствие между элементами множества А и некоторой частью А множества В. После установления этого соответствия мы отождествляем элементы из А с соответствующими им элементами из А и можем рассматривать А как часть В.
Чтобы иметь право называть элементы множества В числами, надо определить в нем арифметические операции. Это определение не может быть произвольным — ведь некоторые элементы множества В соответствуют элементам исходного множества А, для которых арифметические операции уже определены. Ясно, что новое определение не должно противоречить исходному.
Уточним это требование. Пусть, например, в множестве А определена операция сложения и пусть соответствие между множеством А и частью А множества В имеет вид а—Тогда должно иметь место равенство:
Это равенство означает, что безразлично — сначала ли мы складываем 
, а потом берем элемент из В, соответствующий сумме, или сначала берем элементы из В, соответствующие a и b, а потом складываем их.
Чтобы сделать эти, несколько абстрактные рассмотрения более понятными читателю, напомним, как определяются рациональные числа, исходя из множества целых чисел (см. «Анализ», § I гл. I). Мы сначала вводим выражения 
где тип — целые числа, и объединяем в один класс такие выражения и 
что 
. После этого класс, содержащий выражение 
отождествляется с целым числом 
. Арифметические операции теперь вводятся по формулам
и т. д. При этом из равенств
видно, что эти определения не противоречат ранее введенным для целых чисел.
