2. Комплексные числа.

Мы уже говорили, что понятие комплексного числа вводится из-за того, что некоторые уравнения с действительными коэффициентами не имеют решений в области действительных чисел. Поэтому мы хотим расширить числовую область так, чтобы в расширенной области такие уравнения, как или имели решения.

Новые «числа», которые мы сейчас определим, называются комплексными. Они не выражают результата какого-либо измерения — мы знаем, что для выражения результатов измерений достаточно действительных чисел. Из-за этого теория комплексных чисел имеет более абстрактный, более формальный характер, чем теория действительных чисел. Заметим, что, несмотря на кажущуюся абстрактность понятия комплексного числа, теория комплексных чисел и функций комплексного переменного имеет в настоящее время многочисленные практические применения.

Теория функций комплексного переменного применяется в настоящее время для решения задач теории упругости, аэромеханики, гидромеханики, электротехники, атомной физики и т. д.

Перейдем к построению множества комплексных чисел.

Как уже говорилось выше, мы сначала определим элементы множества комплексных чисел, потом установим соответствие между действительными числами и некоторыми из этих элементов и, наконец, определим арифметические операции для элементов нашего множества. Только после этого можно будет с полным правом назвать элементы нашего множества числами. Однако, для того чтобы не менять по ходу изложения названия, мы будем с самого начала называть элементы строящегося множества комплексными числами.

Определение. Комплексным числом называют пару действительных чисел a и b, взятых в определенном порядке.

При этом две пары считаются равными тогда и только тогда, когда . Таким образом, одно равенство для комплексных чисел равносильно двум равенствам для действительных чисел.

Мы уже говорили, что при построении нового числового множества надо отождествить некоторые его элементы с элементами исходного числового множества. В случае комплексных чисел отождествляют пары вида с действительными числами а. Зтим устанавливается

навливается взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и частью множества комплексных чисел, состоящей из пар вида дальнейшем, определяя действия над комплексными числами, мы будем следить за тем, чтобы для пар вида эти действия превращались в обычные действия над действительными числами.

Если — комплексное число, то а называют его действительной частью, мнимой частью. Приняты обозначения (от французских слов — действительный и imaginaire — мнимый). Числа для которых называют мнимыми числами, а числа вида — чисто мнимыми числами.