6. Извлечение корня из комплексного числа.

Как и для действительных чисел, корнем степени из комплексного числа с называется такое комплексное число что . Корень степени из с обозначают . Таким образом, если то . Мы покажем сейчас, что из любого комплексного числа с можно извлечь корень степени, причем если то принимает значений.

Связь между комплексными числами записывается наиболее просто, если эти числа выражены в тригонометрической форме. Поэтому при решении уравнения следует пользоваться именно этим представлением комплексных чисел. Обозначим модуль и аргумент данного числа с соответственно через и а (считая а каким-нибудь одним из значений , а модуль и аргумент искомого числа — через . Тогда

и в силу формулы (1), п. 5, равенство перепишется так:

Чтобы выполнялось равенство (1), нужно, чтобы неизвестные удовлетворяли соотношениям

где — какое-нибудь целое число. Учитывая, что должно быть неотрицательным действительным числом, находим отсюда:

Итак, для модуля неизвестного числа мы получили единственное, вполне определенное значение. Что же касается аргумента Ф этого числа, то он может принимать различные значения в зависимости от значений целого числа Однако не всегда различным значениям будут соответствовать различные числа . В самом деле, при увеличении на увеличивается на при увеличении на единиц увеличивается на это значит, что Следовательно, формулы (3) определяют различных комплексных чисел которые можно получить, придавая любые последовательных целых значений, например, беря Попутно мы видим также, что точки, изображающие все получаемые значения лежат на одной окружности (центром которой является точка О, а радиусом — число и делят эту окружность на равные части (дуга между любыми двумя соседними точками составляет рад.), то есть являются вершинами правильного -угольника.

Итак, нами получена следующая

Теорема Корень степени из любого комплексного числа имеет в поле комплексных чисел значений:

Эти значения изображаются вершинами правильного -угольника с центром в нулевой точке.

Рассмотрим некоторые частные случаи этой теоремы.

1) Квадратный корень из комплексного числа. При формулы (3) определяют два значения корня

Эти значения оказываются (как и следовало ожидать) взаимно противоположными.

2) Кубический корень из комплексного числа. При формулы (3) дают три значения корня

Например, если , то и мы получаем следующие значения

3) Корень степени из положительного действительного числа. Если а — положительное действительное число, то . Формулы (3) дают в этом случае

При мы получаем положительное действительное значение

то есть арифметическое значение корня.

Рис. 44

Если четное число, то при мы получим еще одно действительное (отрицательное) значение корня:

Так, например, для 1 получаем следующие значения:

Если же — нечетное число, то арифметическое значение корня является единственным действительным его значением.

Так, например, для мы получаем, кроме арифметического значения еще два мнимых значения:

В заключение остановимся на одном моменте, отличающем извлечение корня в поле комплексных чисел от того же действия в поле действительных чисел. В поле действительных чисел, когда значение корня оказывается единственным, символом обозначают лишь одно из всех значений корня — его арифметическое значение. При этом правила действий над радикалами относятся именно к арифметическим значениям. В поле же комплексных чисел невозможно выбрать для каждого из выражений какое-нибудь одно значение в качестве «главного» («арифметического») так, чтобы применительно к этим значениям оставались справедливыми известные нам правила действий над радикалами.

В самом деле, предположим, что для любого (или даже только для и для любого комплексного числа а мы каким-то способом выбрали одно из значений а так, что для этих «главных» значении корня справедливо тождество

Тогда с помощью формулы (5) мы получили бы (обозначая каждый раз символом «главное» значение квадратного корня):

(ибо — независимо от того, какое из значений принято в качестве «главного»). Полученное противоречие и доказывает наше утверждение. Таким образом, понятие арифметического корня при переходе

от действительных чисел к комплексным теряет смысл, и все значения корня оказываются совершенно равноправными между собой. Поэтому символ в применении к комплексным числам означает не одно число, а совокупность чисел.

Упражнения

(см. скан)