2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными.

Мы научились изображать любые числа, как рациональные, так и иррациональные, в виде цепных дробей. Выясним теперь, в чем заключаются преимущества и недостатки такого изображения.

Основное преимущество записи чисел в виде цепных дробей по сравнению с их записью в виде систематических (например, десятичных) дробей состоит в том, что эта запись не зависит от выбора системы счисления. Ведь неполные знаменатели получались путем выделения целой части из неправильных дробей, а эта операция при любой системе счисления приводит к одному и тому же результату (конечно, с точностью до записи в разных системах счисления самих неполных знаменателей). Поэтому запись числа в виде цепной дроби отражает его «существенные» арифметические свойства, а не свойства, связанные с выбором той или иной системы счисления.

Например, при записи рационального числа в виде систематической дроби может получиться либо конечная дробь, либо бесконечная периодическая или смешанная) дробь. При записи же рационального числа в виде цепной дроби всегда получается конечная дробь, причем это характерно только для рациональных чисел. Можно доказать, что квадратичные иррациональности, и. только они, представляются в виде периодических цепных дробей. Выразить же условие того, что данное число является квадратичной иррациональностью, в терминах систематических дробей невозможно.

Но самое важное преимущество цепных дробей по сравнению с систематическими заключается в том, что они дают наилучшие приближения данного числа с помощью дробей, имеющих не слишком большие знаменатели. Уточним это утверждение.

Пусть даны число а и несократимая дробь Естественной мерой отклонения — от а является Однако в теоретических гопросах оказалось удобнее осматривать в качестве меры отклонения число . Ясно, что если мало, то тем более мало число Обратное верно не всегда, так как знаменатель может оказаться большим числом.

Пусть число а разложено в цепную дробь. Легко оценить отклонение подходящей дроби от а. Так как а лежит между , то имеем:

Оказывается, для любой дроби, знаменатель которой не превосходит отклонение больше, чем . Иными словами, справедлива следующая

Теорема 4. Если подходящая дробь для разложения числа в цепную дробь, то для любой дроби такой, что выполняется неравенство

Единственным исключением является подходящая дробь для числа

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Теорема 4 показывает, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями для числа а по сравнению со всеми дробями, знаменатель которых не превосходит знаменателя подходящей дроби. Именно это свойство послужило причиной введения цепных дробей в математику и детального изучения их теории. В конце XVII века голландский математик и физик Гюйгенс хотел построить модель Солнечной системы с помощью зубчатых колес. При этом возникла задача определить число зубцов так, чтобы отношение этих чисел для двух связанных между собой колес было по возможности близко к отношению времен а обращения соответствующих планет, причем число зубцов не должно быть слишком большим. Таким образом, встал вопрос об отыскании рациональной дроби, числитель и знаменатель которой были бы не слишком большими числами и которая наилучшим образом приближала число а. С помощью теории цепных дробей задача была решена.

Отметим, что цепные дроби как аппарат для изображения действительных чисел имеют и недостатки: дело в том, что над действительными числами, изображенными в виде цепных дробей, практически трудно выполнять арифметические операции — сложение, вычитание, умножение и деление. (Попробуйте, например, сложить или перемножить дроби

не переводя их в обыкновенные.)