4. Краткие исторические сведения.
При решении квадратных уравнений математики столкнулись со случаями, когда в ответ входил квадратный корень из отрицательного числа (например, 
). В течение долгого времени считали, что такие уравнения попросту не имеют решений (а еще ранее математики не признавали и отрицательных чисел; лишь истолкование таких чисел, как «долга», «потери» и т. д., сделало их равноправными с положительными; впрочем, еще в XVIII веке некоторые английские ученые отказывались иметь с ними дело).
В конце XVI века было открыто, что в случае, когда кубическое уравнение
имеет три действительных корня (как, например, уравнение 
имеющее корни 1, 3, —4), его решение по формуле Кардано приводит к извлечению квадратных корней из отрицательных чисел.
Таким образом, создалось положение, когда для получения действительного результата надо было использовать квадратные корни из отрицательных чисел. Кардано доказал, что выражения 
удовлетворяют системе уравнений
если произвести с ними действия как с обычными двучленами и положить — 
В начале XVIII века Лейбниц дал разложение на мнимые множители двучлена 
. С этого времени начали постепенно развиваться формальные вычисления с комплексными числами, не сопровождавшиеся, однако, изучением вопроса об их обосновании. Французский математик Муавр (1667—1754) в начале XVIII века нашел формулу
и применил ее к вычислению корней из комплексных чисел. (Его обозначения отличались от современных. Современный вид придал этой формуле Эйлер.) Даламбер в 1747 году показал, что всякое алгебраическое выражение, образованное из комплексных чисел, может быть приведено к виду а 
, где 
— действительные числа. Он дал также нестрогое доказательство теоремы о том, что всякий многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный (в частном случае — действительный) корень. Строгое доказательство этой теоремы было проведено в 1799 году великим немецким математиком Гауссом (1777—1855). Гаусс же в 1831 году дал геометрическое истолкование комплексных чисел (до него такое истолкование предлагали другие математики, но их работы остались незамеченными). Гаусс ввел и название «комплексное число». Он систематически применял обозначение 
введенное в одной работе Эйлером. В 1821 году французский математик О. Коши (1789—1857) ввел название «модуль» для величины 
. Ему же принадлежит название «сопряженные комплексные числа».
В работах Эйлера и Даламбера были заложены основы теории функций комплексного переменного. Эта теория была развита в работах Коши и немецких математиков Б. Римана (1826—1866) и К. Вейерштрасса (1815—1897). В настоящее время методы теории функций комплексного переменного широко используются в теории упругости, аэро- и гидродинамике, электростатике, картографии, электротехнике и других областях физики и техники. Приложения этой теории к задачам упругости ведут свое начало от работ русского ученого Г. В. Колосова (1867—1936). Н. Е. Жуковский (1847—1921) и его ученик С. А. Чаплыгин (1869—1942) применили методы теории функций комплексного переменного к расчету профиля крыла самолета. Исследования по применениям этих методов к другим задачам аэро- и гидромеханики были выполнены советскими учеными М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым.
