5. Равносильные системы уравнений.
Две системы уравнений
и
называются равносильными, если всякое решение первой системы является решением второй, а всякое решение второй системы является решением первой.
В частности, любые две несовместные системы уравнений равносильны.
Геометрически это означает следующее: линии 
пересекаются в тех же самых точках, что и кривые 
(см. рис. 12).
Процесс решения системы уравнений заключается в том, что ее последовательно заменяют равносильными ей системами уравнений (или совокупностями систем уравнений) до тех пор, пока не придут к совокупности вида:
Эта совокупность и дает решения заданной системы уравнений.
При решении систем уравнений чаще всего используются следующие теоремы о равносильности.
Теорема 1. Если в системе
заменить любое из уравнений равносильным ему уравнением, то получим систему, равносильную первоначальной.
Доказательство. Пусть 
равносильно уравнению 
Обозначим через А множество решений уравнения 
через А — множество решений уравнения 
а через В — множество решений уравнения 
. Тогда множеством решений системы (4) является пересечение 
, а множеством решений системы
является пересечение 
. Поскольку уравнения 
равносильны, то 
, а значит, и 
то есть системы (4) и (4) равносильны. Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает такое Следствие. Каждая система уравнений
равносильна некоторой системе уравнений вида
В самом деле, уравнение 
равносильно уравнению 
а уравнение 
— уравнению 
Теорема 2. Если функции 
определены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение
равносильно совокупности уравнений
— решение уравнения (5), то имеет место равенство
Но произведение нескольких чисел может равняться нулю тогда и только тогда, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей. Поэтому для некоторого
одно из решений совокупности (6).
Обратно, если 
— одно из решений совокупности (6), то по крайней 
мере для одного к имеем 
, а тогда выполняется равенство (5), и потому 
— одно из решений уравнения (5).
Из теоремы 2 вытекает Следствие. Система уравнений
равносильна совокупности систем уравнений
Например, система уравнений
равносильна совокупности систем
Это следствие позволяет сводить системы к совокупностям более простых систем.
