6. Свойства подходящих дробей.

Полученное выше правило вычисления подходящих дробей имеет фундаментальное значение для всей теории цепных дробей. Кроме способа непосредственного вычисления последовательности подходящих дробей, из него получается ряд важных свойств частных числителей и частных знаменателей и подходящих дробей цепной дроби.

Рассмотрим некоторые из этих свойств.

1) Докажем, что для имеет место равенство:

Доказательство проведем индукцией по индексу

Покажем прежде всего справедливость формулы (1) при

Заметим, что откуда

Значит,

откуда следует, что

то есть формула (1) справедлива при

Предположим, что формула (1) справедлива при

Докажем, что она справедлива и при то есть что

Для этого выразим по формулам (3) и (4) из и сделаем соответствующие подстановки:

В силу формулы (Г) получаем:

Итак, из справедливости формулы (1) при следует ее справедливость при Значит, она верна при всех значениях

2) Докажем, что при имеет место равенство:

Доказательство. Преобразуем левую часть равенства (2) и применим свойство (1):

Из последних двух свойств вытекает важное следствие.

3) Прдходящие дроби цепной дроби несократимы.

Будем доказывать это утверждение от противного. Предположим, что какая-то дробь — сократима. Это значит, что числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель. Обозначим его через с; тогда Подставив эти значения Р, и в равенство (1), мы получим:

Но последнее равенство неверно, так как левая часть делится на с, а правая — нет. Следовательно, наше предположение, что частные числитель и знаменатель Р, и имеют общий множитель, неверно.

Упражнения

(см. скан)

7. Диофантовы уравнения первой степени. Мы знаем, что одно уравнение с двумя неизвестными, вообще говоря, имеет бесчисленное множество решений. Однако если рассматривать такие уравнения лишь в множестве целых чисел, то может оказаться, что уравнение имеет лишь конечное множество решений.

Например, уравнение имеет бесчисленное множество действительных решений. Целыми же решениями уравнения являются лишь

Уравнения, для которых ищутся лишь целые решения, обычно называют диофантовыми.

Вопрос о решении уравнений в целых числах довольно сложен. Мы рассмотрим сейчас самый простой вид таких уравнений, а именно уравнения вида

где и с — целые числа.

Такие уравнения можно решать с помощью цепных дробей.

Для примера рассмотрим

Разложим в цепную дробь: . Рассмотрим разность между предпоследней и последней подходящими дробями:

Значит,

Умножим обе части равенства (2) на 11:

Получилось, что являются решениями заданного уравнения.

Нетрудно заметить, что решением того же уравнения будет любая пара чисел следующим образом выражающихся через целый параметр

Этот метод всегда применим, если с делится на наибольший общий делитель чисел . В противном случае уравнение не имеет целых решений.

Иногда ставится задача решений диофантовых уравнений в множестве натуральных чисел. Для этого нужно сначала решить его в целых числах, а потом найти значения при которых х и у положительны.

В разобранном выше примере для этого нужно решить в целых числах систему неравенств:

Решая ее, находим

Упражнения

(см. скан)