3. Пустое множество.

Введение понятия множества в математику оказалось очень полезным. Из-за того что элементами множеств могут быть вещи самой различной природы, одни и те же утверждения, касающиеся множеств, можно истолковать и как утверждения о натуральных числах, и как утверждения о точках геометрических фигур, и как утверждения о множестве слов и т. д. Таким образом, понятия и теоремы теории множеств обладают большой общностью. Этим и объясняется то, что язык теории множеств применяется в самых различных областях математики.

В математике приходится иногда рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множества, не имеющие ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым. Его обозначают знаком 0. На первый взгляд может показаться, что понятие пустого множества излишне. Но когда множество задано своим характеристическим свойством, заранее неизвестно, пусто оно или нет. Например, пусть некоторое множество состоит из всех прямоугольников с неравными диагоналями. То, что свойство «быть прямоугольником с неравными диагоналями» задает пустое множество, составляет утверждение геометрической теоремы: «Во всяком прямоугольнике диагонали равны». Точно так же из теоремы Пифагора следует, что множество прямоугольных треугольников, для которых квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов, пусто. Вот еще несколько примеров задания пустого множества характеристическим свойством:

а) множество рациональных чисел таких, что

б) множество всех точек пересечения двух параллельных прямых;

в) множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180°;

г) множество квадратных уравнений, имеющих более двух различных корней;

д) множество решений системы уравнений

О некотором множестве может быть неизвестно, является ли оно пустым множеством или нет. Так, до сих пор неизвестно, пусто ли множество натуральных чисел таких, что а уравнение

имеет положительные целочисленные решения (в этом состоит известная проблема Ферма).

Пустое множество единственно: нет двух разных пустых множеств.