2. Неравенства с двумя переменными.
Рассмотрим теперь неравенства с двумя переменными. Все такие неравенства равносильны неравенствам вида
Например, неравенство
равносильно неравенству
Чаще всего встречается случай, когда уравнение 
задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство 
, а в других — неравенство 
. Иными словами, линия 
отделяет часть плоскости, где 
, от части плоскости, где
Рассмотрим, например, неравенство
Уравнение 
задает прямую линию (см. рис. 28). Эта прямая разбивает всю плоскость на
Рис. 28
две полуплоскости. Ясно, что при уменьшении у величина 
уменьшается. Поэтому ниже прямой 
располагаются точки, в которых 
, а выше этой прямой точки, где 
Совершенно так же решается общее линейное неравенство
Прямая 
разбивает плоскость на две полуплоскости. Если 
, то при увеличении у величина 
увеличивается, а при уменьшении у — уменьшается. Поэтому при 
выше прямой 
лежат точки, где 
, а ниже этой прямой — точки, где 
. В случае 
роли полуплоскостей меняются.
На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем 
а в какой 
применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой 
и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение 
. Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости 
имеет противоположный знак.
Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными. Например, решим неравенство:
Уравнение
можно записать в виде
Это уравнение окружности с центром в точке А (2, —3) и радиусом 5 (рис. 29).
Окружность (3) разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю области. Чтобы узнать, в какой из них имеет место неравенство (2), возьмем контрольную точку во внутренней области. В качестве такой точки удобно взять центр 
нашей
Рис. 29.
окружности. Подставляя координаты точки 
в левую часть неравенства (2), получаем отрицательное число —25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство
Отсюда вытекает, что неравенство (2) имеет место во внешней для окружности области (3).
