Глава I. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. Тождественные преобразования многочленов

1. Основные законы алгебры. Читатель знаком с большим числом алгебраических формул: с формулой квадрата суммы и разности

с формулой разложения разности квадратов на множители

Ему известны и многочисленные правила действий над алгебраическими выражениями: сложения многочленов, умножения одночленов и многочленов, правила действий с алгебраическими дробями и т. д.

Все многообразие формул алгебры основано на нескольких основных законах, относящихся к сложению, вычитанию, умножению и делению чисел. Эти основные законы таковы:

(коммутативность сложения).

с (ассоциативность сложения).

(коммутативность умножения).

(ассоциативность умножения).

(дистрибутивность умножения относительно сложения).

Покажем, например, как из этих законов выводится формула

По закону дистрибутивности имеем:

Используя коммутативность умножения, получаем:

Вторично применяя дистрибутивность, а также коммутативность умножения и ассоциативность сложения, находим:

Поскольку

то и

Если выводить аналогичным образом формулу

то придется использовать и ассоциативность умножения.

Роль законов 1) — 9) в алгебре аналогична роли аксиом в геометрии. Как в геометрии все теоремы выводятся из аксиом, так в алгебре все формулы выводятся из законов 1)—9).

Как и аксиомы геометрии, алгебраические законы не доказываются. Они являются обобщением многотысячелетнего опыта практической деятельности человечества. Прежде чем сформулировать закон а , надо было много раз подметить такие арифметические соотношения, как Все остальные законы алгебры имеют то же происхождение — они являются буквенной записью многократно проверявшихся арифметических соотношений.

Упражнение 1.

Выведите из основных законов алгебры формулы: