3. Неравенство Коши (двумерный вариант).
Выведем теперь новое неравенство. Для этого рассмотрим произведение 
и раскроем в нем скобки. Мы получим многочлен 
который совпадает с многочленом, получающимся после раскрытия скобок в выражении
Таким образом, справедливо тождество
Так как 
, то из этого тождества следует неравенство
справедливое для любых действительных чисел 
. Это неравенство, а особенно его обобщения, имеет большое значение для многих вопросов математического анализа. Оно называется неравенством Коши или, точнее, двумерным случаем неравенства Коши.
Из соотношения (1) вытекает, что знак равенства имеет место в (2) тогда и только тогда, когда 
. Мы будем называть в этом случае числа 
пропорциональными. Это связано с тем, что если 
то соотношение 
можно записать так:
Приведенный выше вывод неравенства (2) кажется на первый взгляд очень вычурным и искусственным. В отличие от неравенства 
основанного на простом и очевидном тождестве 
неравенство (2) основано на далеко не очевидном с первого взгляда тождестве (1). Естественно поэтому желание найти другой подход к этому неравенству, при котором оно стало бы очевидным. Американские математики Э. Беккенбах и Р. Беллман пишут по этому поводу следующее (см. их книгу «Введение в неравенства». 1965): «Нерушимым принципом математики является то, что в ней нет случайных фактов и положений. Каждый результат, какое бы место он не занимал, находит свое истолкование, благодаря которому этот результат становится прозрачным, само собой разумеющимся. Это истолкование может не сразу броситься в глаза, и оно может быть найдено не сразу. Часто подлинный смысл математической теоремы проясняется только тогда, когда мы посмотрим на нее, так сказать, «сверху», то есть с точки зрения более общей теории. Однако истолкование, поясняющее смысл теоремы, имеется всегда — и это исключительно важно. Если бы дело обстояло не так, то математика выродилась бы в набор несвязных формальных трюков и схоластических выкрутасов».
Часто наиболее простое истолкование алгебраического результата имеет геометрический характер. Формулы, которые кажутся совершенно непонятными и сложными, становятся очевидными, когда раскрывается их геометрическое содержание.
Рис. 23
Не составляет исключение и неравенство (2). Пусть числа 
неотрицательны. Возьмем треугольник, изображенный на рис. 23. С помощью теоремы Пифагора легко подсчитать, что длины отрезков 
определяются равенствами
и
Но длина стороны 
не превосходит суммы длин двух других сторон. Поэтому имеем 
. Подставляя в это неравенство выражения для длин отрезков 
получаем, что
Возведем обе части этого неравенства в квадрат. Так как обе части неравенства (3) положительны, то после этого получим равносильное неравенство:
Раскроем скобки в левой части и приведем подобные члены. Мы получаем: 
Еще раз возведя обе части неравенства в квадрат, приходим к неравенству Коши:
Тем самым неравенство Коши доказано при неотрицательных значениях 
Чтобы доказать его для любых значений 
достаточно заметить, что 
и потому
Но по доказанному
Из неравенств (4) и (5) вытекает:
Итак, мы доказали, что неравенство Коши вытекает из элементарной теоремы геометрии: длина стороны треугольника не больше суммы длин двух других сторон. Нетрудно показать, что эти два утверждения эквивалентны друг другу — из неравенства Коши следует неравенство (3).
Неравенство (2) является частным случаем более общего неравенства
(кликните для просмотра скана)
