Главная > Математический анализ. (Виленкин)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3. Неравенство Коши (двумерный вариант).

Выведем теперь новое неравенство. Для этого рассмотрим произведение и раскроем в нем скобки. Мы получим многочлен который совпадает с многочленом, получающимся после раскрытия скобок в выражении

Таким образом, справедливо тождество

Так как , то из этого тождества следует неравенство

справедливое для любых действительных чисел . Это неравенство, а особенно его обобщения, имеет большое значение для многих вопросов математического анализа. Оно называется неравенством Коши или, точнее, двумерным случаем неравенства Коши.

Из соотношения (1) вытекает, что знак равенства имеет место в (2) тогда и только тогда, когда . Мы будем называть в этом случае числа пропорциональными. Это связано с тем, что если то соотношение можно записать так:

Приведенный выше вывод неравенства (2) кажется на первый взгляд очень вычурным и искусственным. В отличие от неравенства основанного на простом и очевидном тождестве неравенство (2) основано на далеко не очевидном с первого взгляда тождестве (1). Естественно поэтому желание найти другой подход к этому неравенству, при котором оно стало бы очевидным. Американские математики Э. Беккенбах и Р. Беллман пишут по этому поводу следующее (см. их книгу «Введение в неравенства». 1965): «Нерушимым принципом математики является то, что в ней нет случайных фактов и положений. Каждый результат, какое бы место он не занимал, находит свое истолкование, благодаря которому этот результат становится прозрачным, само собой разумеющимся. Это истолкование может не сразу броситься в глаза, и оно может быть найдено не сразу. Часто подлинный смысл математической теоремы проясняется только тогда, когда мы посмотрим на нее, так сказать, «сверху», то есть с точки зрения более общей теории. Однако истолкование, поясняющее смысл теоремы, имеется всегда — и это исключительно важно. Если бы дело обстояло не так, то математика выродилась бы в набор несвязных формальных трюков и схоластических выкрутасов».

Часто наиболее простое истолкование алгебраического результата имеет геометрический характер. Формулы, которые кажутся совершенно непонятными и сложными, становятся очевидными, когда раскрывается их геометрическое содержание.

Рис. 23

Не составляет исключение и неравенство (2). Пусть числа неотрицательны. Возьмем треугольник, изображенный на рис. 23. С помощью теоремы Пифагора легко подсчитать, что длины отрезков определяются равенствами

и

Но длина стороны не превосходит суммы длин двух других сторон. Поэтому имеем . Подставляя в это неравенство выражения для длин отрезков получаем, что

Возведем обе части этого неравенства в квадрат. Так как обе части неравенства (3) положительны, то после этого получим равносильное неравенство:

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные члены. Мы получаем:

Еще раз возведя обе части неравенства в квадрат, приходим к неравенству Коши:

Тем самым неравенство Коши доказано при неотрицательных значениях

Чтобы доказать его для любых значений достаточно заметить, что и потому

Но по доказанному

Из неравенств (4) и (5) вытекает:

Итак, мы доказали, что неравенство Коши вытекает из элементарной теоремы геометрии: длина стороны треугольника не больше суммы длин двух других сторон. Нетрудно показать, что эти два утверждения эквивалентны друг другу — из неравенства Коши следует неравенство (3).

Неравенство (2) является частным случаем более общего неравенства

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru