3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Комплексные числа, как мы знаем, изображаются точками плоскости или же векторами, идущими в эти точки из нулевой точки О. Задание комплексного числа 
в алгебраической форме равносильно заданию абсциссы и ординаты соответствующей точки М или вектора 
Но вектор 
на плоскости может быть задан и иначе, а именно, своей длиной и углом, который он образует с каким-нибудь фиксированным направлением, то есть полярными координатами точки М.
Определение. Длина вектора, соответствующего комплексному числу 
называется модулем числа 2, а радианная мера угла, образованного этим вектором с положительным направлением действительной оси, — аргументом комплексного числа 
Модуль комплексного числа 
обозначается 
аргумент этого числа обозначается 
Модуль любого комплексного числа 
есть неотрицательное действительное число, равное нулю тогда и только тогда, когда 
Аргумент любого комплексного числа 
имеет бесконечно много значений (поскольку угол, фигурирующий в определении аргумента, определен неоднозначно), отличающихся друг от друга на числа, кратные 
В тех случаях, когда хотят иметь однозначно определенное значение аргумента, выбирают значение, лежащее между 
, и обозначают его через 
. Ясно, что на отрицательной действительной полуоси функция 
имеет разрыв: когда мы пересекаем эту полуось, значение 
скачком меняется на 
— увеличивается, если ось пересекают снизу вверх, и уменьшается, если ось пересекают сверху вниз.
Например, 
(рис. 39). Наряду с обозначениями 
мы будем обозначать модуль через 
, а аргумент через 
.
Рис. 39
Если комплексное число z является действительным, то есть если соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, то определенное только что понятие модуля, очевидно, совпадает с известным ранее понятием абсолютной величины числа 
Этим оправдывается употребление для модуля комплексного числа того же обозначения, которое было ранее принято для абсолютной величины действительного числа. Аргумент же действительного числа 
равен 
если 
и равен 
если 
Можно сказать, что модуль комплексного числа — это расстояние от точки О до точки М. Вспоминая, что число 
изображается разностью векторов 
то есть вектором, идущим из 
получаем важный результат: если числу 
соответствует, точка 
а числу 
— точка 
то 
равно расстоянию между этими точками:
Зная модуль и аргумент комплексного числа, нетрудно найти его действительную и мнимую части, то есть представить его в алгебраической форме.
По формулам (1), п. 2, имеем:
Выражение 
через х и у дается формулами (2), п. 2:
Рис. 40
Любое из соотношений (1) позволяет найти угол 
если учитывать дополнительно, что знаки чисел х и у определяют четверть, которой принадлежит искомое значение аргумента. Примеры.
1. Представить в тригонометрической форме число 
Мы имеем: 
откуда 
Значит, 
2. Представить в тригонометрической форме число —6.
Из рис. 40 мы имеем: 
Значит,
3. Представить в тригонометрической форме число
Данное выражение не является тригонометрической формой числа 
во-первых, потому, что модуль этого числа не может быть равен —2, а во-вторых, потому, что коэффициент мнимой части выражения в скобках равен 
, а не 
Представив число 
в
(кликните для просмотра скана)
