7. Сопряженные комплексные числа.
Определение. Два комплексных числа, имеющие одну и ту же действительную часть и взаимно противоположные коэффициенты мнимых частей, называются 
взаимно) сопряженными.
Для любого комплексного числа z существует одно и только одно сопряженное с ним комплексное число, которое обозначается 
. Если 
, то 
. Очевидно, 
тогда и только тогда, когда z — действительное число.
Отметим, что сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами:
Ранее было выведено правило деления комплексных чисел. Это правило можно проще получить с помощью сопряженных комплексных чисел.
Умножим числитель и знаменатель дроби — на число 
комплексно сопряженное со знаменателем. Выполнив действия и отделив действительную часть от мнимой, получаем:
Этот результат совпадает с формулой, полученной в п. 6.
Эту формулу можно не запоминать, а только помнить, что при делении надо числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное со знаменателем.
Теорема 1. Число, сопряженное с суммой или произведением комплексных чисел, есть сумма или соответственно произведение чисел, сопряженных данным комплексным числам:
Доказательство. Пусть 
. Тогда 
. Имеем:
Точно так же
Эта теорема показывает, что, поставив в соответствие каждому комплексному числу сопряженное с ним число, мы получили взаимно однозначное отображение поля комплексных чисел К на это же поле 
при котором сохраняются операции сложения и умножения.
Из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее
Следствие 1. Число, сопряженное (натуральной) степени комплексного числа, равно той же степени числа, сопряженного данному:
Далее, если нам дан многочлен
коэффициенты которого — комплексные числа, то, заменив каждый коэффициент 
сопряженным ему комплексным числом 
мы получим новый многочлен, который обозначим через
Если теперь в полученном многочлене произвольное значение переменной 
заменить сопряженным ему значением 
то в силу доказанной выше теоремы и следствия I полученное значение многочлена 
будет комплексным числом, сопряженным с исходным значением многочлена 
Если, в частности, все коэффициенты 
многочлена 
действительные числа, то 
один и тот же многочлен, и формула (3) дает:
Таким образом, мы получили
Следствие 2. При замене в многочлене с действительными коэффициентами произвольного значения аргумента сопряженным ему числом значение многочлена также заменяется сопряженным ему числом.
Упражнения
(см. скан)
