2. Целые рациональные выражения и функции.

Мы уже говорили, что алгебраические законы 1)-9) составляют фундамент всего здания алгебры. Но каждый раз сводить решение того или иного алгебраического вопроса, вывод той или иной алгебраической формулы к непосредственному применению этих законов было бы крайне сложно. Точно так же, как в геометрии из аксиом выводят теоремы и потом на практике пользуются уже этими теоремами, в алгебре

из законов 1)-9) выводят алгебраические формулы и правила, а потом пользуются этими формулами и правилами для решения более сложных задач.

В первую очередь надо вывести из алгебраических законов правила действий с одночленами и многочленами.

Введем сначала важные понятия рационального и целого рационального выражения.

Выражение, составленное из букв (например, и чисел с помощью знаков арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления), называется рациональным выражением относительно входящих в него букв.

Примерами рациональных выражений (или, как их называли в начальной алгебре, алгебраических дробей) могут служить:

Если придавать буквам числовые значения, то рациональное выражение, как правило, будет принимать определенные числовые значения (исключение составляют случаи, когда при вычислениях пришлось бы делить на 0).

Поэтому, как правило, рациональное выражение является функцией от входящих в него букв.

Рациональное выражение называется целым относительно некоторой буквы (например, х), если в нем нет операции деления на выражение, содержащее эту букву.

Например, выражения

являются целыми относительно х.

Второе (и, конечно, первое!) выражение — целое относительно а, а третье — нет.

Целые рациональные выражения относительно буквы х являются, согласно сказанному выше, функциями от х.

Такие функции называют целыми рациональными функциями от х.

При сложении, вычитании и умножении целых рациональных выражений снова получаются выражения того же вида. Например, если

а

то

также целые рациональные выражения.

Два целых рациональных выражения относительно х называются тождественно равными, если они принимают одинаковые значения при всех значениях буквы х. В этом случае они задают одну и ту же функцию переменного . Например, из формулы (а вытекает, что целые рациональные выражения тождественно равны. Правила тождественных преобразований целых рациональных выражений знакомы читателю из начального курса алгебры. Мы укажем здесь более строгий и общий вывод некоторых из этих правил.