3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений с двумя неизвестными.

Возьмем любое уравнение относительно х и у:

и рассмотрим все точки некоторой плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Эти точки образуют некоторое множество Г, и мы будем говорить, что уравнение (1) задает (или выражает) это множество. Обычно множество Г является некоторой линией. В этом случае уравнение (1) называют уравнением линии Г.

Чтобы найти точки линии имеющие абсциссу а, надо подставить в уравнение вместо х значение а. Мы получим уравнение с одним неизвестным:

Может случиться, что это уравнение не имеет ни одного действительного корня. Тогда на линии нет точек с абсциссой . Если же уравнение (2) имеет один или несколько корней, то каждому корню соответствует точка линии, имеющая абсциссу а.

Для некоторых уравнений на плоскости нет ни одной точки, координаты которых удовлетворяли бы этим уравнениям. Примером может служить

Ведь если — действительные числа, то а потому . Другим уравнениям соответствует лишь одна точка на плоскости. Например, возьмем уравнение

Так как то это уравнение может удовлетворяться лишь в случае, когда . Иными словами, уравнение (3) задает на плоскости одну точку

Однако такие случаи являются в некотором смысле исключительными, и мы ограничимся рассмотрением случаев, когда уравнение задает некоторую линию.

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла решений систем уравнений с двумя неизвестными. Возьмем такую систему:

Каждому из этих уравнений соответствует линия, координаты всех точек которой (и только этих точек!) удовлетворяют этому уравнению. Мы же ищем точки координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям. Ясно, что эти точки принадлежат обеим линиям, то есть являются точками их пересечения.

Итак, задача о решении системы уравнений равносильна задаче об отыскании точек пересечения соответствующих линий. Каждой точке пересечения линий соответствует решение системы.

Упражнение 5. Напишите уравнение, которому удовлетворяют лишь три точки: .