2. Полярная система координат.

Мы задавали положение точки на плоскости ее декартовыми координатами — абсциссой и ординатой. Наряду с этой системой координат часто применяют другую, называемую полярной системой координат. Чтобы задать полярную систему координат, выбирают точку О (полюс) и выходящий из этой точки луч (полярную ось). Положение точки М на плоскости задается двумя числами — длиной вектора и углом который этот вектор образует с полярной осью. При этом угол измеряется в радианной мере и отсчитывается против часовой стрелки (см. рис. 36).

Ясно, что координата — неотрицательное действительное число и однозначно определена положением точки М. Координата жеср определена неоднозначно, так как угол между вектором и осью определен лишь с точностью до кратного . Для точки 0 координата не определена.

Установим связь между декартовыми координатами и полярными координатами (см. рис. 37). Мы будем считать, что полюс совпадает с началом координат а полярная ось — с положительным направлением оси абсцисс. В этом случае в силу

Рис. 36

Рис. 37

определения тригонометрических функций (см. «Математический анализ», п. 1 § 2 главы V) имеем:

Отсюда выводится, что

Соотношения (1) и (2) позволяют находить декартовы координаты точки по ее полярным координатам и обратно.

Пример. Найти полярные координаты точки Мы имеем:

По заданным значениям находим, что Значит, полярные координаты точки М равны

Иногда отыскание полярных координат точки легче делать непосредственно исходя из рисунка, чем из формул (2). Возьмем, например, точку . Из рис. 38 очевидно, что для этой точки

Рис. 38

Для точек, лежащих на положительном направлении оси абсцисс, угол равен (с точностью до кратного ) нулю, для точек на отрицательном направлении оси абсцисс он равен для точек на положительном и отрицательном направлениях оси ординат соответственно