Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных.
Теорема 1, п. 7, является частным случаем следующего общего утверждения.
Теорема 9. Для любого симметрического многочлена существует такой (вообще говоря, несимметрический) многочлен что .
Доказательство. Пусть — симметрический многочлен. Возьмем какой-нибудь из его членов Если то этот член имеет вид и может быть записан так:
Если же , скажем , то наряду со слагаемым входит и симметрическое с ним слагаемое Но сумму можно записать так:
Мы уже умеем выражать через . Следовательно, и сумма выражается через . Так как это рассуждение применимо к любому слагаемому , то и весь многочлен можно выразить через и
существует такой (вообще говоря, несимметрический) многочлен 
что 
.
— симметрический многочлен. Возьмем какой-нибудь из его членов 
Если 
то этот член имеет вид 
и может быть записан так:
, скажем 
, то наряду со слагаемым 
входит и симметрическое с ним слагаемое 
Но сумму 
можно записать так:
. Следовательно, и сумма 
выражается через 
. Так как это рассуждение применимо к любому слагаемому 
, то и весь многочлен 
можно выразить через и 
симметрический многочлен
получаем, что
