2. Степени с рациональными показателями.
В § 1 были определены степени с любыми целыми показателями. Обобщим далее понятие
нятие степени, введя степени с любыми рациональными показателями. Это обобщение тесно связано с понятием корня.
Пусть 
— рациональное число и а — положительное число.
Запишем число 
в виде дроби 
, где 
— целые числа. Не теряя общности, можно считать, что 
(например, 
Нам надо определить выражение 
так, чтобы сохранились все свойства степеней. В частности, должно выполняться равенство:
Из него следует, что 
надо определить как корень 
степени из 
Мы ограничиваемся при этом арифметическими значениями корней При 
получаем:
Например,
При 
мы не определяем смысл выражения а 
Ясно, что при определении (3) для выражения 
выполняется соотношение (1).
В следующем пункте мы выведем свойства степеней с рациональными показателями. Нам понадобятся для этого следующие два утверждения.
а) Если а и 
— положительные числа, причем 
и если 
— натуральное число, то 
Докажем это утверждение индукцией по 
. При 
оно имеет место. Пусть уже доказано, что 
. Умножая соответствующие части неравенств 
получаем, что 
. В силу принципа математической индукции неравенство 
верно для всех натуральных значений 
Другое доказательство этого неравенства следует из тождества
(см. п. 5 § 1 гл. I). Если 
то обе скобки в правой части равенства положительны и потому
Из свойства а) непосредственно вытекает следующее утверждение:
б) Если а и 
— такие положительные числа, что для некоторого натурального числа 
имеем 
, то 
.
В самом деле, если бы мы имели, например, 
, то по свойству а) выполнялось бы неравенство 
вопреки предположению.
Каждое рациональное число можно различными способами записать в видедроби. Например, 
Определение степени с рациональным показателем на первый взгляд зависит от способа записи показателя в виде дроби. Покажем, что это не так, то есть что для любого натурального числа 
при 
выполняется равенство:
Для этого возведем обе части равенства (4) в степень 
. В силу свойства 5) степеней с натуральным показателем и равенства (1) имеем:
С другой стороны, по формуле (1),
Таким образом, 
степени обеих частей доказываемого равенства (4) совпадают. В силу утверждения б) отсюда вытекает справедливость равенства (4).
Можно доказать, что определение (2) согласуется с физическим смыслом 
степеней с показателем — (см. стр. 93).
Упражнения
(см. скан)
