4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби.

В предыдущем параграфе было показано, что любую конечную цепную дробь можно обратить в рациональное число. Покажем теперь, что и обратно — любое рациональное число можно обратить в цепную дробь.

Теорема 1. Всякое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби.

Доказательство. Всякое рациональное число можно представить в виде отношения двух целых чисел При этом, не теряя общности, можно считать (в противном случае изменим знаки у Р и Q). Применим к числам Р и Q алгоритм Евклида (см. § 1):

где (если то ). Каждое из полученных равенств можно переписать по-другому:

Нетрудно заметить, что каждое из этих равенств можно понимать как нахождение целой части неправильной дроби; каждое из неполных частных представляет собой целую часть соответствующей дроби:

Подставив значение дроби из (2) в знаменатель дроби равенства (Г), получим:

Затем значение дроби взятое из равенства (3), подставим в знаменатель дроби Продолжая процесс подстановки до конца, получим:

Число частных знаменателей, которое получится при разложении заданного рационального числа в цепную дробь, заранее узнать невозможно. Оно зависит от «природы» числа. Так, мало отличающиеся «на вид» числа

разлагаются в цепные дроби, имеющие разное число частных знаменателей:

Обратите внимание на характер доказательства теоремы 1. По существу получено больше, чем требовалось. Ведь надо было лишь доказать, что любое рациональное число можно представить в виде конечной цепной дроби. Мы же не только доказали этот факт, но и указали способ построения искомой цепной дроби.

Покажем теперь, что разложение любого рационального числа в цепную дробь однозначно определено. При этом рассматриваются лишь разложения, удовлетворяющие следующему условию: последний частный знаменатель должен быть больше 1. В противном случае могут существовать и различные разложения в цепную дробь одного и того же рационального числа.

Пример. Разложим в цепную дробь число

Последний частный знаменатель можно представить в виде . В таком случае число — можно записать в виде цепной дроби по-иному: Получилось, что одну и ту же дробь — мы разложили в цепную дробь двумя различными способами: и [1, 1, 1]. Так можно поступить с любым рациональным числом. Например, для числа можно получить две цепные дроби:

Чтобы исключить двузначность в разложении рационального числа в цепную дробь, связанную с такими искусственными «удлинениями», как раз и приходится предполагать последний частный знаменатель большим 1.

Однозначность разложения мы докажем от противного. Допустим, что число удалось разложить в две разные цепные дроби:

где

и

При этом допускается, что различны не только сами частные знаменатели, но и их количество

Мы имеем равенства:

Так как — натуральные числа, лежит между 0 и . Иными словами, . Точно так же Значит, и

Отсюда следует, что

Но точно так же следует . Продолжая процесс сравнения соответствующих частных знаменателей, получим для всех . Если теперь допустить, например, что то после шага мы придем к равенству

которое невозможно, поскольку — целое число, а дробное. Точно так же доказывается, что невозможно неравенство . Итак, для всех Однозначность разложения доказана.

Упражнение 5. Обратить следующие обыкновенные дроби в цепные:

(см. скан)