6. Решение алгебраических неравенств высших степеней.

Мы видели, что решение квадратичного неравенства свелось по сути дела к решению квадратного уравнения. Корни и этого уравнения разбивали числовую ось на промежутки, где квадратный трехчлен сохранял постоянный знак. После этого было достаточно отобрать те промежутки, где выполняется требуемое неравенство.

Точно так же решение неравенства вида

сводится к решению алгебраического уравнения

точнее говоря, к отысканию действительных корней этого уравнения. Чтобы осуществить это сведение, нам понадобится следующее утверждение, которое будет доказано в главе V (см. стр. 238): любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители первой и второй степеней, причем множители второй степени не имеют действительных корней.

Поэтому неравенство (1) можно записать так:

где множители

не имеют действительных корней и потому положительны на всей числовой оси (см. п. 2). Поэтому, отбрасывая эти множители, мы приходим к равносильному неравенству

А теперь заметим, что множитель отрицателен при положителен при Иными словами, этот множитель меняет знак лишь при переходе через точку . Значит, если расположить действительные корни многочлена

в порядке возрастания, то на промежутках

многочлен сохраняет постоянный знак. Поэтому достаточно выбрать на каждом из промежутков (5) «пробную точку» и найти знак многочлена в этой точке. Тот же знак многочлен будет иметь и на всем промежутке. Вместо подсчета значения в «пробной точке» можно подсчитать число положительных и отрицательных сомножителей в разложении (4).

Совокупность промежутков, на которых принимает положительные значения, дает решение неравенства а совокупность промежутков, в которых принимает отрицательные значения — решение неравенства

Пример. Решить неравенство

Найдем сначала корни уравнения

Это биквадратное уравнение. Решая его, получаем корни:

Найденные корни разбивают действительную ось на промежутки

На промежутке выберем «пробную точку» -6, на промежутке — точку —4, на промежутке (-3, 3) — точку О, на (3, 5) — точку 4 и на — точку 6. Мы имеем:

Отсюда вытекает, что решение неравенства (4) состоит из промежутков Это решение можно записать так:

Неравенства вида

решаются точно так же. Именно, умножим числитель и знаменатель на один и тот же множитель . Тогда знаменатель станет неотрицательным. Поэтому неравенство (5) равносильно неравенству

которое решается описанным выше образом.

Пример. Решить неравенство

Это неравенство равносильно следующему:

Решая уравнения

и

находим их корни:

Расположим эти корни в порядке возрастания. Полученные числа разбивают действительную ось на промежутки:

Методом «пробных точек» находим, что решение неравенства (6) состоит из промежутков:

Упражнение 20. Решить неравенства:

(см. скан)