§ 5. Решение неравенств

1. Общие замечания.

Перейдем теперь к решению неравенств. Пусть дано неравенство

Решением этого неравенства называется любой набор чисел с такой, что . Обычно ставится вопрос об отыскании всех решений данного неравенства, то есть о нахождении множества всех значений при которых неравенство выполняется. Это множество называют множеством решений неравенства.

Если неравенство содержит два неизвестных, то есть имеет вид , то множеством его решений является некоторое множество числовых пар . Каждая такая пара изображается точкой плоскости. Поэтому множество решений неравенства с двумя неизвестными геометрически изображается множеством точек плоскости.

Мы будем рассматривать также системы и совокупности неравенств. Пусть задано несколько неравенств (мы пишем неравенства с двумя неизвестными, но, вообще говоря, их число может быть любым):

Говорят, что они образуют систему неравенств, если требуется найти значения при которых выполняются все неравенства (2), то есть такие а и , что

Пусть — множество решений неравенства — множество решений неравенства — множество решений неравенства Очевидно, что множеством решений системы (2) является множество В — пересечение указанных множеств:

Наряду с системами неравенств мы будем рассматривать их совокупности. Говорят, что неравенства

образуют совокупность, если требуется найти значения, удовлетворяющие хотя бы одно из этих неравенств.

Ясно, что множество С всех решений совокупности (3) является суммой множеств решений каждого неравенства: