Глава II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

§ 1. Общая теория уравнений

1. Тождества.

Введем понятие тождественного равенства функций на числовом множестве X.

Пусть функции имеют области определения А и В соответственно, и X является подмножеством как А, так и В (но не обязательно совпадает с пересечением А и В). Тогда функции определены на X.

Функции называются тождественно равными на числовом множестве X, если для любого числа из X выполняется равенство . В этом случае говорят, что равенство является тождеством на множестве X.

Разумеется, равенство может быть тождеством на некотором множестве X, но не быть тождеством на каком-нибудь другом множестве Рассмотрим, например, функции На множестве X положительных чисел эти функции тождественно равны: если х — положительное число, то . На множестве же всех действительных чисел эти функции не являются тождественно равными: при отрицательных значениях х равенство

не имеет места, так как при этих значениях

Совершенно так же определяется понятие тождественного равенства для функций нескольких переменных. Например, функции переменных и у тождественно равны на множестве всех значений этих переменных: для любых значений и у выполняется равенство

Функции же тождественно равны лишь на множестве пар чисел для которых или, что то же самое,

Упражнение 1. Доказать тождества:

(см. скан)