§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел
1. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Мы знаем, что действительные числа можно изображать точками на числовой оси. Комплексное число 
задается двумя действительными числами а и 
. Поэтому естественно изображать комплексные числа точками на плоскости. Именно, каждому комплексному числу 
ставится в соответствие точка 
. В частности, числу 
ставится в соответствие точка 
. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам — точки оси ординат.
Построенное соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимно-однозначным. Часто вместо точек плоскости рассматривают их радиус-векторы, то есть векторы, идущие из начала координат О (0,0) в точку М. Тогда получаем взаимнооднозначное соответствие между комплексными числами и радиус-векторами 
(см. рис. 35). Разумеется, вместо радиус-векторов можно брать любые равные им векторы.
Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом сложение и вычитание комплексных чисел получают простое геометрическое истолкование. Мы знаем, что при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части:
Рис. 35
то 
. Поэтому при указанном соответствии между комплексными числами и векторами операции сложения и вычитания комплексных чисел переходят в операции сложения и вычитания векторов.
, а числу 
— вектор 
то числу 
соответствует вектор 
, а числу 
вектор 
а второе переменным и положить 
, то 
— функция, определенная для комплексных значений аргумента z и принимающая комплексные значения. Из изложенного выше ясно, что этой функции соответствует геометрическое преобразование плоскости, при котором точка 
переходит в точку 
. Это преобразование есть не что иное, как параллельный перенос плоскости на вектор с координатами а и 