§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел

1. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Мы знаем, что действительные числа можно изображать точками на числовой оси. Комплексное число задается двумя действительными числами а и . Поэтому естественно изображать комплексные числа точками на плоскости. Именно, каждому комплексному числу ставится в соответствие точка . В частности, числу ставится в соответствие точка . Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым числам — точки оси ординат.

Построенное соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимно-однозначным. Часто вместо точек плоскости рассматривают их радиус-векторы, то есть векторы, идущие из начала координат О (0,0) в точку М. Тогда получаем взаимнооднозначное соответствие между комплексными числами и радиус-векторами (см. рис. 35). Разумеется, вместо радиус-векторов можно брать любые равные им векторы.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом сложение и вычитание комплексных чисел получают простое геометрическое истолкование. Мы знаем, что при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части:

Рис. 35

Точно так же при сложении векторов отдельно складываются их координаты: если то . Поэтому при указанном соответствии между комплексными числами и векторами операции сложения и вычитания комплексных чисел переходят в операции сложения и вычитания векторов.

Точнее это означает следующее: если числу z соответствует вектор , а числу — вектор то числу соответствует вектор , а числу вектор

Если одно из слагаемых считать постоянным и равным а второе переменным и положить , то — функция, определенная для комплексных значений аргумента z и принимающая комплексные значения. Из изложенного выше ясно, что этой функции соответствует геометрическое преобразование плоскости, при котором точка переходит в точку . Это преобразование есть не что иное, как параллельный перенос плоскости на вектор с координатами а и

Вопрос о геометрическом истолковании умножения и деления комплексных чисел будет рассмотрен позже.

Упражнения

(см. скан)