§ 2. Уравнения с одним неизвестным

1. Алгебраические уравнения с одним неизвестным.

Рациональным алгебраическим уравнением с одним неизвестным называют уравнение вида

где — алгебраическая дробь относительно х. К такому виду можно в силу теорем 3 и 5, § 2, привести любое уравнение

, где алгебраические дроби. Например, уравнение

является рациональным алгебраическим. В дальнейшем мы будем называть такие уравнения просто алгебраическими.

Применяя теоремы о равносильности уравнений, можно заменить каждое уравнение вида (1) равносильным ему уравнением вида:

где многочлен от х. Для этого надо записать дробь в виде отношения двух многочленов. Мы получим уравнение:

где многочлены от х. Но дробь может равняться нулю лишь в случае, когда равен нулю ее числитель. Поэтому решение уравнения (1) сводится к решению уравнения где — многочлен от х. При этом нужно иметь в виду, что решениями уравнения (1) являются лишь те корни уравнения (2), при которых дробь имеет смысл (то есть отлично от нуля).

Пример. Решить уравнение

Перенесем в левую часть уравнения и приведем получившуюся сумму к общему знаменателю. Получим уравнение:

Приравнивая нулю числитель этой дроби, получаем уравнение корнем которого является число Однако при дробь — не определена. Поэтому заданное уравнение корней не имеет.