5. Преобразования уравнений.

При решении уравнений мы переходим от одного уравнения к другому, пока не придем к уравнению вида или совокупности уравнений такого вида. Возьмем, например, уравнение

Прибавляя к обеим частям этого уравнения и приводя подобные члены, получаем уравнение

А теперь умножим обе части уравнения (2) на и получим, что

В процессе решения этого уравнения мы прибавляли к обеим частям уравнения некоторое алгебраическое выражение (а именно, , умножали обе части уравнения на одно и то же число (а именно, на ). Кроме того, мы выполняли тождественные преобразования. Заметим, что уравнения (1), (2) и (3) имели одно и только одно решение Таким образом, все проведенные преобразования приводили к уравнениям, равносильным первоначальному уравнению (1), имевшим с ним одно и то же решение.

Однако не всегда одинаковые преобразования обеих частей уравнения приводят к уравнению, равносильному первоначальному. Рассмотрим уравнение:

Его решением является . Если же мы умножим обе части уравнения на , то получим уравнение:

Это уравнение, кроме решения имеет еще решение оно имеет лишний корень по сравнению с (4).

С другой стороны, если мы возьмем уравнение (5), имеющее решения и «сократим» его на (то есть разделим обе части уравнения на ), то получим уравнение единственным решением Значит, здесь мы в процессе решения потеряли корень

Не является «безобидным» и прибавление к обеим частям уравнения одного и того же алгебраического выражения. Например, уравнение

имеет решение . Но если прибавить к обеим частям этого уравнения выражение , то получим уравнение

для которого не является решением — обе части этого уравнения не имеют смысла при Таким образом, произошла потеря решения.

Эти примеры наглядно показывают, что при преобразовании уравнений необходима осторожносгь — неправильно преобразуя уравнение, мы можем как приобрести лишние решения, так и потерять решения данного уравнения. При этом надо иметь в виду, что приобретение лишних решений не столь опасно, как потеря существующих. Ведь после того, как уравнение решено, можно подставить все найденные решения в заданное уравнение и отобрать те из решений, которые ему удовлетворяют. А потерянные решения восстановить уже нельзя.

Из изложенного видно, что, прежде чем решать конкретные виды уравнений, надо познакомиться с общей теорией уравнений, выяснить, какие преобразования приводят к равносильным уравнениям, какие дают посторонние решения, а при каких решения могут быть потеряны. Только после этого мы сможем решать уравнения «с открытыми глазами».