Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

§ 1. Событие и вероятность

Под событием мы будем понимать всякое явление, которое происходит или не происходит. Легко понять, что эта фраза отнюдь не может служить точным определением в том смысле, как мы понимаем математическое определение, однако мы вынуждены ею ограничиться.

Для большей ясности приведем некоторые примеры. Так, например, событием является выпадение герба при бросании монеты, выпадение того или иного числа очков (например, шестерки) при бросании игральной кости, попадание в цель при выстреле, нахождение молекулы газа в заранее выделенном объеме, опоздание в школу, приход в школу вовремя, прочтение (или непрочтение) этой книги (или «Евгения Онегина»)...

Различные события мы будем обозначать буквами А, В, С, ....

Событие называют достоверным, если оно непременно должно произойти. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые шары, и т. п.

Наоборот, событие называют невозможным, если оно заведомо не наступит. Примерами невозможных событий являются извлечение более четырех тузов из обычной карточной колоды, появление красного шара из урны, содержащей лишь белые и черные шары, и т. п.

Пусть А — некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в том, что А не наступило. Его обозначают через А. Если, скажем, событие Л состоит в появлении красной масти при вытаскивании карты из колоды, то А означает появление черной.

События А и В называют несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так, появление любого возможного числа очков при бросании игральной

кости (событие А) несовместно с появлением иного числа (событие В). Выпадение четного числа очков несовместно с выпадением нечетного числа. Наоборот, выпадение четного числа очков (событие А) и числа очков, кратного трем (событие В), не будут несовместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А, и события так что наступление одного из них не исключает наступления другого. Легко понять, что события А и А всегда будут несовместными.

Рассмотрим некоторую совокупность событий Эти события принято называть единственно возможнымиу если в результате каждого испытания хотя бы одно из них наверное наступит. Говорят также, что рассматриваемые события образуют полную группу событий. Так, например, при бросании игральной кости полную группу образуют события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков.

Теперь мы можем перейти к рассмотрению важнейшего понятия вероятности события.

Рассмотрим систему конечного числа событий относительно которой сделаем следующие предположения:

1. Эти события попарно несовместны; иначе говоря, для любых двух событий появление одного из них исключает появление другого.

2. События единственно возможны, то есть какое-либо одно из них непременно должно наступить.

3. События равновозможны. Это означает, что не существует никаких объективных причин, вследствие которых одно из них могло бы наступать чаще, чем какое-либо другое.

Пусть имеется событие А, которое наступает при появлении некоторых из наших «элементарных» событий и не наступает при появлении других. Мы будем говорить в таком случае, что те из «элементарных» событий при наступлении которых наступает также событие А, благоприятствуют событию А.

Допустим, что из общего числа рассматриваемых событий событию А благоприятствует из них. Тогда вероятностью события А называется отношение числа событий, благоприятствующих событию А у к общему числу всех равновозмодкных событий. Если, как это принято, обозначить вероятность события А через , то мы получаем по определению

Поясним приведенное нами определение примером. Рассмотрим бросание игральной кости и обозначим через события, состоящие в выпадении соответственно одного, двух, шести очков.

Легко проверить, что эти события удовлетворяют всем сделанным выше предположениям.

Отсюда следует, что

потому что каждому из этих событий благоприятствует только оно само, так что здесь

Если событие А означает появление четного числа очков, то ему благоприятствуют события состоящие в появлении двух, четырех и шести очков. Поэтому для события А имеем так что

Пусть событие В состоит в появлении числа очков, кратного трем. Тогда событию В благоприятствуют «элементарные» события , откуда следует, что для события В имеем Поэтому

Легко заметить, что для любого события А число благоприятствующих событий удовлетворяет неравенствам Поэтому вероятность любого события А подчинена условиям

Далее, если обозначить через Е некоторое достоверное событие, то ему, очевидно, должны благоприятствовать все «элементарные» события так что для него должно быть Поэтому вероятность достоверного события равна единице:

Если, наоборот, — невозможное событие, то из самого определения следует, что здесь так что вероятность невозможного события равна нулю:

Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих введенное нами понятие вероятности.

Пример 1. В урне находятся три синих, восемь красных и девять белых шаров одинакового размера и веса, неразличимых наощупь. Шары тщательно перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при одном вынимании шара из урны.

Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным, то мы имеем всего элементарных событий. Если через обозначить события, состоящие в появлении соответственно синего, красного и белого шаров, а

через число благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что Поэтому

Пример 2. Одновременно брошены две монеты. Какова вероятность появления гербов

Решение. Рассмотрим возможные при бросании двух монет исходы. Очевидно, их можно описать схемой

где Г означает выпадение герба, надписи. Таким образом, возможны четыре элементарных события. Поскольку монеты предполагаются однородными и имеющими геометрически правильную форму, то нет никаких оснований предполагать, что одна из сторон какой-либо монеты выпадает чаще других. Поэтому все четыре случая следует считать равновозможными. Но тогда, обозначив через вероятность выпадения гербов, легко получим:

Пример 3. Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми?

Решение. Так как любое из возможного числа очков на одной кости может сочетаться с любым числом очков на другой, то общее число различных случаев равно Легко убедиться в том, что все эти случаи попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий. Для ответа на вопрос следует подсчитать, в каком числе случаев сумма очков равна восьми. Это будет, если число очков на брошенных костях равно

причем первое слагаемое означает число очков на первой, а второе — на второй кости. Отсюда видно, что событию Л, состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна восьми, благоприятствует случаев. Поэтому

Упражнения