3. Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю.
Так как 
, то из каждого свойства степеней с рациональными показателями вытекает соответствующее свойство корней.
Равенство 
(см. формулу (3), п. 2) переписывается так: при 
имеем
Таким образом, если подкоренное выражение является степенью положительного числа, причем показатель степени имеет общий делитель с показателем корня, то можно сократить эти показатели на общий делитель. Например, 
Из равенства (1) вытекает, что любые два корня с натуральными показателями можно привести к общему показателю.
Именно пусть даны корни 
. Тогда по формуле (1) имеем 
(разумеется, в качестве общего показателя корней можно выбрать не 
а наименьшее общее кратное чисел 
Упражнения
Отметим, что формула (1) справедлива лишь при условии 
. В случае, когда 
эта формула, вообще говоря, неверна. Например, рассмотрим 
Если 
то по формуле (1) получаем 
Пусть теперь 
Тогда — 
Поэтому при 
имеем:
Например,
Наконец, если 
, то 
Полученные значения для 
можно выразить одной формулой
В самом деле, как 
так и 
равны а при 
и равны 
при 
Вообще, если общий делитель 
на который сокращают показатели корня и подкоренного выражения, четен и рассматриваются любые значения а, формулу (1) следует переписать так:
Пример. Вычислить
По формуле (2) получаем:
Значит, если 
, то 
, а если 
, то этот корень равен 
.
Упражнение 10. Упростить выражения:
(см. скан)
