5. Особые случаи решения иррациональных уравнений.

В разобранных выше примерах после освобождения от иррациональности получались уравнения, имевшие один или несколько корней. В этом случае удается обнаружить посторонние корни путем подстановки их в первоначальное уравнение. В некоторых примерах, однако, после освобождения от иррациональности получается равенство, тождественно выполняющееся на всей числовой оси или на некотором бесконечном числовом множестве. В этом случае проверка корней путем подстановки становится уже невозможной, поскольку найденное множество корней бесконечно. Для таких уравнений в ходе решения выясняют дополнительные условия на возможные корни, имеющие форму неравенств, и отбирают лишь корни, удовлетворяющие этим условиям.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть дано иррациональное уравнение:

Решим его путем освобождения от иррациональности. Для этого уединим первый радикал и возведем обе части равенства в квадрат. Мы получим, что

то есть

Вновь возводя в квадрат, получаем:

Это равенство тождественно выполняется для всех значений х. Однако, подставляя в уравнение (1), например, получаем неверное соотношение: Таким образом, первоначальному уравнению удовлетворяют не все значения х. Как мы уже говорили, отобрать корни уравнения (1) методом подстановки невозможно, поскольку множество корней уравнения (2) бесконечно.

Выясним, откуда появились посторонние корни. Дело в том, что мы рассматриваем здесь лишь арифметические значения радикалов.

Из-за этого на х налагаются дополнительные ограничения, имеющие вид неравенств. А при возведении обеих частей уравнения в квадрат эти ограничения были сняты. Таким образом, чтобы найти, при каких же значениях х удовлетворяется первоначальное уравнение, нам надо отобрать числа, удовлетворяющие соответствующим неравенствам.

В первую очередь должны выполняться неравенства поскольку подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Эти неравенства выполняются для всех значений

и не дают нужных нам ограничений на х.

Далее, так как , то

Это неравенство выполняется лишь в области, где то есть . Решением этого квадратного неравенства является отрезок . Дальнейшие ограничения на х получаем из равенства (2). Так как левая часть этого равенства заведомо неотрицательна, то должно выполняться условие

Итак, мы нашли два дополнительных условия на

Решением системы неравенств (3) является отрезок Поскольку, кроме неравенств (3), никаких ограничений на х не накладывается, а уравнение, полученное после освобождения от иррациональностей, выполняется тождественно на всей числовой оси, решением уравнения (1) является отрезок . Иными словами, равенство (1) справедливо для любой точки этого отрезка.

Уравнение (1) можно решить иначе. Для этого заметим, что

и

Так как то уравнение (1) переписывается так:

Точки —5 и 3 разбивают числовую ось на участки На каждом из этих участков знаки постоянны. Принимая во внимание эти знаки, получаем, что уравнение можно записать так:

или

Отсюда снова видно, что равенство (1) тождественно выполняется на отрезке [-5, 3] и не выполняется ни в одной точке, лежащей вне этого отрезка.

Точно так же решается иррациональное уравнение

Здесь мы имеем условие на х вида Представим уравнение так:

или

Отсюда получим:

Возможны три случая:

. В этой области уравнение (4) равносильно уравнению

то есть , а по условию

Здесь уравнение (4) равносильно уравнению

или . Это значит, что любое значение х, удовлетворяющее неравенству удовлетворяет и уравнению (4), а значит, и исходному уравнению.

. В этом случае уравнение (4) принимает вид:

Отсюда а по условию

Итак, чтобы найти решение уравнения (4), нам осталось решить иррациональное неравенство

Возводя все члены этого неравенства в квадрат, получаем, что , то есть . Значит, решением уравнения (4) является отрезок [5, 10].

Упражнение 40. Решить иррациональные уравнения:

(см. скан)