5. Решение неравенств второй степени.

Перейдем теперь к решению квадратных неравенств, то есть неравенств вида

Мы можем, не теряя общности, считать, что

Мы покажем сейчас, что решение неравенств второй степени сводится по сути дела к решению квадратных уравнений. При этом возможны различные случаи, в зависимости от знака дискриминанта квадратного уравнения

а) Пусть . В этом случае, как мы знаем, квадратное уравнение (2) имеет два различных действительных корня Будем считать, что . Имеет место соотношение

Значит, неравенство равносильно неравенству

Сомножитель положителен при и отрицателен при сомножитель положителен при и отрицателен при . Иными словами, первый сомножитель меняет знак лишь при переходе через точку а второй — лишь при переходе через точку Поэтому произведение а меняет знак лишь при переходе через одну из этих точек.

Иными словами, на каждом из промежутков

квадратный трехчлен с имеет постоянный знак.

Легко найти, какой именно знак имеет трехчлен на каждом промежутке. Если то тем более а потому оба сомножителя отрицательны. Но тогда их произведение положительно. Поскольку мы предположили, что и то получаем: при квадратный трехчлен с положителен. При переходе через точку сомножитель становится положительным, а сомножитель остается отрицательным. Значит, на промежутке квадратный трехчлен с принимает отрицательные значения. Наконец, при оба сомножителя положительны, и потому выполняется неравенство

Итак, мы доказали следующее утверждение: если квадратный трехчлен , где имеет два различных действительных корня то неравенство выполняется на промежутках а неравенство на промежутке

В этом случае квадратный трехчлен с имеет два совпадающих корня Следовательно, его можно записать в виде

Но положительно при к равно нулю при Итак, при неравенство выполняется на промежутках (то есть на всей числовой

Рис. 10

прямой с «выколотой» точкой , а неравенство не выполняется ни в одной точке числовой оси.

в) Наконец, рассмотрим случай, когда

Перепишем трехчлен виде:

По условию имеем . Так как , то для всех значений х трехчлен с является суммой двух положительных слагаемых и потому положителен при всех значениях х.

Итак, если то неравенство выполняется для всех значений х, а неравенство выполняется ни для одного значения х.

Полученные результаты допускают простое геометрическое истолкование. Рассмотрим функцию . При графиком этой функции является парабола с осью, параллельной оси обращенная ветвями вверх.

Если , то эта парабола пересекает ось в двух точках (рис. 10, а). Ясно, что заключенная между этими точками часть параболы лежит ниже оси а слева и справа от парабола лежит выше оси

Если то парабола касается оси в некоторой точке Слева и справа от этой точки она лежит выше (рис. 10, б).

Наконец, при парабола не пересекает оси

положена выше нее. Поэтому для всех значений х выполняется неравенство .

К неравенствам второй степени сводятся неравенства вида

Умножив обе части неравенства на получим равносильное неравенство второй степени:

Пример. Решить неравенство

Это неравенство равносильно неравенству

Корнями функции являются числа Они разбивают ось на промежутки Выясняя знак на этих промежутках, устанавливаем, что ответ имеет вид:

Приведем пример задачи, сводящейся к решению квадратных неравенств.

Задача. Лодка спускается по течению реки на расстояние

10 км, а затем поднимается против течения на расстояние 6 км. Скорость течения реки равна . В каких пределах должна лежать собственная скорость лодки, чтобы вся поездка заняла от 3 до 4 часов?

Решение. Пусть — собственная скорость лодки. Тогда ее скорость по течению реки равна , а против течения реки равна . Поэтому время движения лодки равно

По условию имеем:

Должно выполняться неравенство так как иначе лодка не смогла бы идти против течения. Поэтому неравенство равносильно неравенству

Итак, мы получили систему неравенств

то есть систему неравенств

Корнями уравнения являются числа , а уравнения — числа . Первое неравенство выполняется на отрезке , а второе — при условии или . Но мы знаем, что . Поэтому получаем систему неравенств:

из которой окончательно получаем:

Упражнение 19. Решить неравенства:

(см. скан)