§ 4. Неравенства с многими переменными
В параграфе 3 главы II мы рассмотрели задачи на доказатель ство и решение неравенств, содержащих одно неизвестное. В случае многих неизвестных задачи становятся значительно сложнее. Некоторые из них будут рассмотрены здесь. Неравенства, которые
будут установлены в этом параграфе, играют важную роль в самых различных вопросах математики. В частности, мы покажем ниже, как с помощью этих неравенств решать задачи на отыскание наибольших и наименьших значений.
1. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел.
Возьмем два числа 2 и 8. Среднее арифметическое этих чисел равно 
а среднее геометрическое 
. Мы видим, что для этих чисел среднее геометрическое меньше среднего арифметического. То же самое получится, если взять числа 1 и 9: их среднее арифметическое равно 4, 5, а среднее геометрическое равно 3. Для чисел 1 и 2 среднее арифметическое равно 1,5, а среднее геометрическое равно 
Во всех разобранных примерах подмеченная нами закономерность имеет место. Это дает основание предположить, что вообще для любых двух неотрицательных чисел х и у их среднее геометрическое 
не больше среднего арифметического 
есть что
Мы докажем сейчас это утверждение. Так как числа х и у по условию неотрицательны, то мы можем положить 
где 
. Тогда неравенство (1) примет вид:
или, что то же самое, 
Но это неравенство очевидно, поскольку равносильно заведомо верному неравенству 
Итак, неравенство (1) доказано. Отметим, что оно верно лишь при условии 
если числа х и у имеют различные знаки, то левая часть неравенства не имеет смысла; если же х и у отрицательны, то 
, а потому неравенство (1) не имеет места.
Отметим еще, что 
тогда и только тогда, когда 
Отсюда сразу следует, что 
тогда и только тогда, когда 
.
Рис. 22
, а их среднее арифметическое — радиусу окружности. Ясно, что 
не превосходит 
причем 
тогда и только тогда, когда 