3. Доказательство неравенств.

Для доказательства неравенств применяют один из следующих двух путей.

1) Исходят из неравенства, которое надо доказать, и последовательно заменяют его равносильными неравенствами, пока не дойдут до очевидного неравенства. Так как на каждом шагу получалось неравенство, равносильное данному, то тем самым справедливость данного неравенства доказана.

2) Исходят из какого-нибудь очевидного неравенства и заменяют его неравенствами-следствиями до тех пор, пока не придут к доказываемому неравенству. Мы знаем, что неравенство равносильно неравенству Поэтому доказательство неравенства сводится к доказательству того, что разность левой и правой частей неравенства положительна. Для этого стараются представить эту разность в виде суммы или произведения заведомо положительных выражений.

Рассмотрим следующий пример. Доказать неравенство

Это неравенство равносильно неравенству

Перепишем левую часть в виде

Так как, очевидно, то неравенство доказано.

Далее докажем, что дробь , где увеличивается, если к числителю и знаменателю прибавить одно и то же положительное число Иными словами, докажем, что при выполняется неравенство

Для этого составим разность левой и правой частей неравенства:

Приведя дробит к одному знаменателю, получаем:

Так как правая часть этого равенства заведомо положительна, то неравенство доказано.

Теперь приведем пример на использование второго способа доказательства неравенства. Докажем, что для любого действительного числа х имеет место неравенство

причем знак равенства получается лишь при

Будем исходить из очевидного неравенства

имеющего место при любом действительном х, причем равенство в формуле (2) может иметь место лишь при

Раскроем скобки в выражении (2). Мы получим неравенство . Но при любом значении х можно прибавить к обеим частям неравенства число а потом разделить обе части полученного неравенства на 2 (см. п. 2). Выполнив эти операции,

получаем доказываемое неравенство (1), где знак равенства имеет место лишь при

Упражнения

(см. скан)