4. Линейные неравенства.
Перейдем теперь к методам решения неравенств. Начнем с простейшего случая — линейного неравенства с одним неизвестным. Такое неравенство имеет вид 
или 
Если 
то неравенство принимает вид 
. В случае, когда 
— положительное число, это неравенство справедливо для всех значений 
а в случае, когда 
— отрицательное число, оно не имеет места ни при одном значении х.
Рассмотрим более интересный случай, когда 
Не теряя общности, можно считать, что 
. Если 
, то обе части неравенства умножим 
изменив знак неравенства на противоположный (например, неравенство 
можно заменить равносильным неравенством 
).
Прибавим к обеим частям неравенства 
число 
Мы получим равносильное неравенство 
Далее, разделив обе части неравенства 
на а, получим неравенство 
(напомним, что мы условились считать а положительным числом).
Рис. 9
Итак, неравенство 
, где а — положительное число, равносильно неравенству 
Точно так же неравенство 
равносильно неравенству 
Полученный результат допускает простое геометрическое истолкование.
Рассмотрим функцию 
Ее графиком является прямая линия, образующая острый угол с осью 
и пересекающая эту ось 
в точке 
(см. рис. 9).
Ясно, что слева от точки 
функция 
отрицательна, а справа от этой точки — положительна.
К неравенствам рассмотренного вида сводится решение более общих неравенств
В самом деле, неравенство (1) равносильно
К решению линейных неравенств сводится решение систем и совокупностей линейных неравенств. Чтобы найти решение систем линейных неравенств, надо решить каждое из них, а потом взять пересечение получившихся множеств. При решении совокупности линейных неравенств надо решить каждое из них и взять сумму получившихся множеств.
Пример 1. Решить систему неравенств:
Решением первого из них является 
второго 
, а третьего 
. Ясно, что пересечением этих трех множеств является промежуток 
Пример 2. Решить совокупность систем неравенств:
Сначала решим систему неравенств:
Так же, как и в примере 1, получаем промежуток 
. Точно так же решением системы неравенств:
является промежуток 
Решение совокупности (4) получается объединением этих промежутков. В результате получаем промежуток 
Упражнение 18. Решить следующие системы неравенств и совокупности систем:
(см. скан)
