3. Степень с натуральным показателем и ее свойства.

Напомним понятие степени с натуральным показателем. Пусть а — некоторое число, а - натуральное число. Произведение сомножителей, каждый из которых равен а, называют степенью числа а и обозначают Число а называют основанием степени, показателем степени. Например,

Хотя само число а нельзя взять сомножителем только один раз, естественно положить , то есть считать, что первая степень числа равна этому числу.

Из определения степени сразу вытекает, что для любого натурального выполняются равенства

Операция возведения в степень с натуральным показателем обладает следующими свойствами:

1) Если а и b — любые числа — натуральное число, то

(дистрибутивность возведения в степень относительно умножения). Иными словами, чтобы возвести в степень произведение двух чисел, надо возвести в степень оба сомножителя и перемножить полученные результаты.

В самом деле, из определения степени следует, что

Используя ассоциативность и коммутативность умножения, переставим в правой части сомножители так, чтобы сначала шли все сомножители, равные а, а потом равные Мы получим:

Но потому

Соотношение (1) доказано.

2) Для любых чисел где и любого натурального числа выполняется равенство:

Иными словами, чтобы возвести в степень дробь, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель дроби и разделить степень числителя на степень знаменателя. В самом деле, по правилу умножения дробей

Из формулы (2) следует, в частности, что при

3) Для любого числа а и любых натуральных чисел тип выполняется равенство:

В самом деле, из определения степени с натуральным показателем и ассоциативности умножения следует, что

Формулу (4) читают так: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются.

4) Если а — любое число, отличное от нуля, а тип — натуральные числа, причем то

Если

Иными словами, при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются.

В самом деле, пусть . Тогда имеем:

Сократим дробь на множителей, равных а. Тогда в числителе останется таких множителей, а знаменатель обратится в единицу. Поэтому мы получим, что

Разберите самостоятельно случай, когда

5) Для любого числа а и любых натуральных чисел тип выполняется равенство:

т. е. при возведении степени в степень показатели перемножаются.

В самом деле, из определения степени с натуральным показателем следует, что

В правой части этого равенства имеем сомножителей, каждый из которых равен а, а потому все произведение равно Итак,

Если а — положительное число, то при любом натуральном число положительно. Если же а — отрицательное число, то положительно при четном и отрицательно при нечетном

Правила 1), 2), 5) можно использовать для возведения в степень одночленов. Пусть, например, надо вычислить

По правилам 2) и 1) имеем:

Применяя правило 5), получаем:

Рассмотрим еще пример: