6. Системы однородных линейных уравнений.
Линейное уравнение, свободный член которого равен нулю, называется однородным. Оно имеет вид
Мы рассмотрим сейчас систему таких уравнений:
Система однородных линейных уравнений заведомо разрешима, поскольку ей удовлетворяет решение 
. Это решение мы будем называть нулевым. Однако чаще всего нас интересуют именно ненулевые решения системы однородных линейных уравнений.
Если ранг системы однородных линейных уравнений равен числу неизвестных, 
, то, как мы знаем, система имеет единственное решение. Так как одно решение, а именно нулевое, мы уже знаем, то ненулевых решений система не имеет. Если же ранг системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. Поэтому у нее, кроме нулевого
будут и ненулевые решения. Мы доказали, таким образом, следующую теорему.
Теорема. Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг 
этой системы был меньше числа неизвестных 
Так как ранг системы заведомо меньше числа уравнений исходной системы, то отсюда получаем
Следствие. Для того чтобы система 
однородных линейных уравнений с 
неизвестными имела ненулевое решение, достаточно, чтобы число уравнений было меньше числа неизвестных, 
.
Системы однородных линейных уравнений решаются методом Гаусса. Решим, например, систему уравнений:
Применяя метод Гаусса, приходим к системе уравнений:
Ее можно записать так:
Отсюда находим, что 
. При любом значении 3 получаем решение системы 
. Отметим, что полученное решение можно представить в следующем виде:
Упражнения
(см. скан)
(кликните для просмотра скана)
