§ 3. Функциональные неравенства

Перейдем к изучению неравенств между функциями от одного или нескольких переменных. Задачи о таких неравенствах распадаются на два больших класса. В одних задачах требуется доказать, что в той или иной области, где заданы две функции, их значения удовлетворяют заданному неравенству. Мы будем говорить в этом случае, что неравенство выполняется в этой области тождественно. Такие задачи называют задачами на доказательство неравенств.

Иной вид имеют задачи второго типа. Здесь задано неравенство между функциями и надо найти все значения аргумента (или аргументов, если функции зависят от нескольких переменных), для

которых это неравенство выполняется. Такие задачи мы будем называть задачами на решение неравенств.

Теория неравенств во многом напоминает теорию уравнений. Существенным отличием является то, что уравнение, как правило, имеет конечное множество решений. Решения же неравенств с одним неизвестным заполняют целые промежутки на числовой оси. Для неравенств со многими неизвестными мы получаем в качестве решений области на плоскости, в пространстве и т. д.

Понятия системы неравенств и совокупности неравенств определяются точно так же, как и для уравнений. Именно, мы будем говорить, что задана система неравенств

если надо найти все значения х, при которых выполняются все эти неравенства. Если же надо найти все значения х, при которых выполняется хоть одно из неравенств , то говорят, что задана совокупность неравенств (с одним неизвестным). Совокупность неравенств обозначают так:

Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы теории функциональных неравенств.

1. Следствия из неравенств.

Пусть дана система неравенств

Мы будем говорить, что неравенство

является следствием системы неравенств (1), если оно имеет место для любого х, удовлетворяющего всем неравенствам (1). Иными словами, если выполняются все неравенства (1), то должно выполняться и их следствие (2).

Это определение можно сформулировать следующим образом. Обозначим через множество точек, в которых выполняется неравенство , а через М — множество точек, где выполняется

неравенство (2). Неравенство (2) является следствием системы неравенств (1), если М содержит пересечение всех множеств

В самом деле, пересечение множеств состоит из чисел, удовлетворяющих всем неравенствам (1). Поэтому если (2) — следствие системы неравенств (1), то оно выполняется во всех точках этого пересечения. А это и означает, что

Чаще всего приходится пользоваться следующими утверждениями о следствиях из неравенств.

Теорема 7. Если на некотором множестве А выполняются неравенства

и

то на А имеет место и неравенство

Доказательство. Пусть а — число из множества А. Тогда справедливы числовые неравенства

Следовательно, имеет место неравенство:

Оно показывает, что при выполняется неравенство (5). Значит, (5) является следствием из (3) и (4).

Точно так же доказывается следующая

Теорема 8. Пусть на некотором множестве А выполняются неравенства

и

Тогда на этом множестве имеет место и неравенство