2. Многочлены с действительными коэффициентами.

Вернемся теперь к изучению многочленов над полем действительных чисел, то есть будем изучать многочлены

где — действительные числа.

Основное свойство таких многочленов выражается следующей теоремой.

Теорема. Если комплексное число а является корнем многочлена

с действительными коэффициентами, то и сопряженное с ним число является корнем того же уравнения.

Доказательство. По условию при подстановке числа а в многочлен получаем нуль, .

Но мы знаем (см. стр. 207), что при подстановке в многочлен с действительными коэффициентами комплексного числа а, сопряженного с а, получается число, сопряженное с . Иными словами, . Но и потому . Тем самым доказано, что а — тоже корень многочлена

Докажите сами, что кратность корня а такова же, как и корня а.

Пример. Построить многочлен наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющий корни

Из доказанной теоремы вытекает, что этот многочлен, кроме корня должен иметь и сопряженный с ним корень корня наша теорема не дает ничего нового, так как Поэтому искомый многочлен должен иметь следующий вид:

Раскроем скобки в этом выражении. Это удобнее всего сделать так:

Поэтому дело свелось к перемножению многочленов с действительными коэффициентами:

Упражнения

(см. скан)