8. Бином Ньютона.
При преобразовании целых рациональных выражений в многочлены часто приходится разлагать выражения вида 
Выведем формулу для этого разложения. Случаи 
известны из куоса начальной алгебры:
В разложение 
входят члены, содержащие 
а в разложение 
члены, содержащие 
Естественно предположить, что в разложение 
должны войти члены, содержащие
При этом старший член разложения должен равняться 
а свободный член равен 
Докажем это предположение с помощью индукции по 
Предположим, что уже доказана формула
где через 
обозначен коэффициент при 
в разложении выражения 
Умножим обе части разложения (1) на 
:
Посмотрим, какой коэффициент при 
получится после раскрытия скобок. Ясно, что члены с 
встретятся дважды: при умножении 
на х и при умножении 
на а. Значит, коэффициент при 
равен 
При этом коэффициент при 
равен 1, а свободный член равен 
Итак, мы доказали, что
где
Итак, если разложение (1) справедливо для 
, то оно справедливо и для 
. Так как оно имеет место при 
, то оно выполняется и при 
а тогда и 
Значит, оно верно для всех 
Разложение (1) называют битном Ньютона. Коэффициенты С называются биномиальными коэффициентами. Мы получили для них соотношение (2).
Так как первый и последний коэффициенты разложения (1) равны 1, то полагают по определению
С помощью соотношения (2) можно вычислить все биномиальные коэффициенты 
зная коэффициенты 
Именно
Заметим, что при вычислении 
мы берем в формуле (2) лишь одно слагаемое.
Найдя 
мы вычисляем 
Такое вычисление удобно располагать в виде следующей таблицы:
Здесь каждое число в следующей строке является суммой двух стоящих над ним чисел предыдущей строки (если с какой-нибудь стороны числа нет, соответствующее слагаемое полагают равным нулю). Этот числовой треугольник называют треугольником Паскаля. С помощью треугольника Паскаля можно вычислять биномиальные коэффициенты для любого 
Явное выражение для любого биномиального коэффициента имеет следующий вид:
где 
— произведение всех натуральных чисел от 1 до 
(например, 
Принято считать, кроме того, что 
. В главе IX равенство (3) будет выведено с помощью методов комбинаторики.
Упражнения
(см. скан)
