2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел.

Попробуем теперь обобщить выведенное в п. 1 неравенство. Для положительных чисел средним арифметическим называют

а средним геометрическим —

В п. 1 мы доказали, что при выполняется неравенство

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда

Это неравенство верно для всех натуральных значений Мы ограничимся доказательством этого неравенства при

В математике часто, прежде чем доказывать гипотезу в общем виде, пытаются доказать какой-нибудь частный случай сделанного предположения. Если оказывается, что частный случай неверен, то тем более неверна и гипотеза в общем виде; если же удается доказать гипотезу в частном случае, то возрастают шансы на то, что и в общем случае предположение верно.

Итак, попытаемся доказать, что при

Так как по условию то мы можем положить , где . Неравенство (2) принимает вид:

или

Чтобы доказать неравенство (3), используем разложение на множители

(Формулу (5) можно проверить непосредственно, перемножив многочлены в правой части равенства.)

Так как по условию , то все свелось к доказательству неравенства

а оно справедливо, так как

тем самым соотношение (4), а с ним и (2) доказано. Это, как мы говорили, повышает шансы на то, что неравенство (1) справедливо при всех

Заметим, что тогда и только тогда, когда Поэтому в соотношении (2) знак равенства имеет место лишь при