3. Метод введения нового неизвестного.

Наряду с методом разложения на множители часто применяется другой метод — введение нового неизвестного.

Рассмотрим следующий пример:

Если раскрыть скобки, то получится уравнение четвертой степени, решить которое довольно сложно. Мы поступим иначе. Обозначим через . Тогда

Поэтому уравнение (1) после введения нового неизвестного принимает вид:

Решая это квадратное уравнение, получаем, что его корни равны: .

Но Поэтому х удовлетворяет или уравнению или уравнению то есть совокупности уравнений:

Решая ее, получаем:

Метод, примененный для решения уравнения (1), в общем виде заключается в следующем.

Пусть дано уравнение и пусть функцию можно представить в виде так что уравнение записывается в виде

Введем новое неизвестное положив Тогда вместо уравнения (1) получаем уравнение относительно Докажем следующую теорему.

Теорема 6. Если а — один из корней уравнения один из корней уравнения , то является одним из корней уравнения , где Обратно, если — корень уравнения , то — один из корней уравнения

Доказательство. Пусть — корень уравнения где а — корень уравнения Тогда и потому

Таким образом, удовлетворяет уравнению

Обратно, пусть — корень уравнения . Тогда

Следовательно, а — корень уравнения Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что решение уравнения вида сводится к следующему: сначала находят корни уравнения после этого надо решить все уравнения Совокупность корней этих уравнений и дает решение уравнения (2).

Упражнение 9. Решить уравнения:

(см. скан)