4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения.

Великий русский математик П. Л. Чебышев писал в одной из своих работ, что особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды. Так, рабочий-металлист старается из куска металла получить как можно больше деталей; раскройщик на обувной фабрике старается из куска кожи выкроить как можно больше заготовок; строитель хочет сделать из бревна балку наибольшей прочности и т. д.

Во многих случаях задачи такого характера допускают математическую формулировку. Их называют задачами на наибольшие и наименьшие значения. Общий метод решения таких задач дает математический анализ. Однако много таких задач решается с помощью неравенств.

Рассмотрим следующую задачу.

Имеется 200 м проволоки. Огородить ею прямоугольный участок земли наибольшей площади.

Обозначим стороны прямоугольника через х и у (см. рис. 24). Из условия задачи следует, что , а потому . Площадь прямоугольника . Но из неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим следует, что

Рис. 24

Значит, огородить участок, площадь которого была бы больше невозможно. В то же время мы знаем, что квадратный участок земли с периметром имеет площадь . Задача решена: чтобы получить прямоугольный участок наибольшей площади, имеющий периметр надо взять квадрат со стороной

Эту же задачу можно решить иначе. Из условия следует, что , а потому . Ясно, что сторона меняется в пределах . Таким образом, нам надо найти наибольшее значение функции на отрезке . Для этого преобразуем выражение следующим образом:

Ясно, что неотрицательно при всех значениях и равно нулю лишь при . Но если уменьшаемое постоянно, то разность имеет наибольшее значение, когда вычитаемое принимает наименьшее значение. Этим наименьшим значением вычитаемого является в данном случае нуль. Поэтому мы снова приходим к выводу, что площадь максимальна, если .

Рассмотрим теперь задачу, «двойственную» рассмотренной.

Требуется огородить проволокой прямоугольный участок земли площадью Какую форму он должен иметь, чтобы количество проволоки, пошедшей на ограду, было наименьшим?

Здесь нам задана площадь Снова применяя неравенство между средними, получаем, что

Так как то из (2) получаем: . Так как на ограду надо проволоки, количество необходимой проволоки не может быть меньше, чем . А именно надо на ограду квадратного участка земли.

В обеих задачах мы получили одно и то же решение — участок земли должен быть квадратным. Это не случайно. Многие задачи на наибольшие и наименьшие значения распадаются на «пары» двойственных задач. В одной из них надо найти наибольшее значение некоторой величины (в нашем случае — площади) при условии, что другая величина сохраняет постоянное значение (в нашем случае — периметр). А в двойственной задаче надо найти наименьшее значение второй величины при условии, что первая сохраняет

постоянное значение. Эти две задачи имеют общее решение.

Метод, применяемый нами к решению рассмотренных задач, приводит к следующему общему результату.

Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

На самом деле условие, что четырехугольник является прямоугольником, здесь излишне — из всех четырехугольников с данным периметром квадрат имеет наибольшую площадь.

Мы не будем сейчас доказывать это утверждение для четырехугольников, а докажем аналогичную теорему для треугольников: из всех треугольников, имеющих данный периметр наибольшая площадь у правильного треугольника.

Для доказательства воспользуемся формулой Герона, выражающей площадь треугольника 5 через стороны :

Ясно, что площадь принимает наибольшее значение одновременно с выражением

Применим к числам неравенство между средними. Так как то

и мы получаем, что

Это неравенство показывает, что площадь треугольника с периметром не превосходит :

При этом знак равенства в соотношении (3) достигается, если то есть если треугольник равносторонний.

Можно доказать, что вообще из всех -угольников с данным периметром наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. А из всех фигур с данным периметром наибольшую площадь имеет круг. Но доказательство этого утверждения требует привлечения неэлементарных методов.

В некоторых случаях приходится прибегать к преобразованию изучаемого выражения — с таким примером мы столкнулись выше, когда заменили на . Чаще всего применяют следующие преобразования:

а) отбрасывание постоянных слагаемых (ясно, что они не влияют на наибольшие и наименьшие значения функции);

Рис. 25

б) отбрасывание постоянных сомножителей (при этом если сомножитель отрицателен, то при его отбрасывании наибольшие значения становятся наименьшими и наоборот);

в) замена изучаемого выражения его квадратом. Если выражение неотрицательно, то оно принимает наибольшие и наименьшие значения одновременно со своим квадратом;

г) замена выражения А на — (при этом наибольшие значения переходят в наименьшие и обратно).

Приведем примеры, когда такие преобразования упрощают решение задачи.

Инженерные расчеты показывают, что прочность балки с прямоугольным сечением пропорциональна ширине балки а и квадрату ее высоты Иными словами, прочность такой балки (измеренная в некоторых единицах) равна где — коэффициент, зависящий от длины балки, материала, из которого она сделана, и т. д. Деревянные балки обычно вытесывают из круглых бревен. Задача. Как сделать из бревна, имеющего радиус , балку наибольшей прочности?

Решение. Обозначим высоту вырезанной балки через х.

Тогда из рис. 25 ясно, что ее ширина равна , значит, прочность балки выражается формулой:

Здесь непосредственно неравенство между средними неприменимо. Однако если разделить выражение (4) на А и возвести результат в квадрат, то получим:

или

А теперь мы представили 2 в виде произведения трех множителей, сумма которых постоянна:

Следовательно, в силу неравенства между средними имеем:

Знак равенства достигается здесь, если все три сомножителя равны друг другу. А это будет, если то есть если

При - ширина балки равна:

Отношение - равно 2 1,4. Именно такое отношение высоты балки к ее ширине и предписывается правилами производства строительных работ.

Упражнения

(см. скан)

Рис. 27

(см. скан)