9. Приближение цепной дроби подходящими дробями.

Выясним теперь характер приближения подходящих дробей к рациональному числу, разложенному в данную цепную дробь. Для этого нам понадобится следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть дана цепная дробь длины

При увеличении последнего знаменателя дробь увеличивается, если ее длина четная, и уменьшается, если нечетно.

Доказательство. Проведем доказательство с помощью индукции по При утверждение очевидно. В этом случае «дробь» имеет вид и увеличивается при увеличении (при этом может, увеличиваясь, принимать не только целые, а любые значения).

Пусть теорема уже доказана для дробей длины Рассмотрим дробь длины Ее можно представить в виде

где

— цепная дробь длины

Пусть — четное число. Тогда — дробь нечетной длины Поэтому по предположению индукции она уменьшается при увеличении Но при уменьшении выражение то есть увеличивается.

Если же — нечетное число, то — дробь четной длины и по предположению индукции увеличивается при увеличении Но тогда — уменьшается при увеличении

Итак, предположив, что теорема верна для мы доказали ее справедливость при . Так как при она верна, то она справедлива для всех значений

Из теоремы 2 вытекает важное

Следствие. Всякая четная подходящая дробь не больше значения цепной дроби, а всякая нечетная подходящая дробь не меньше этого значения.

Доказательство. Пусть дана дробь

и

— ее подходящая дробь. Дробь можно записать в виде

где положено

Таким образом, цепная дробь получается из подходящей дроби увеличением последнего знаменателя до значения Из теоремы 2 следует, что если к — четное число, то дробь при этом увеличивается, а если к — нечетно, то она уменьшается. Значит, при четном имеем: , а при нечетном к имеет место Следствие доказано.

Из этого следствия вытекает, что если , то справедливо неравенство

Более точную информацию о характере приближения подходящих дробей к числу дает следующая

Теорема 3. Имеют место неравенства

и

Доказательство. Подходящая дробь получается из подходящей дроби заменой частного знаменателя выражением . Так как это выражение больше то при четном подходящая дробь увеличивается, а при нечетном уменьшается. Отсюда и вытекает теорема 3.

Из теоремы 3 и следствия из теоремы 2 вытекает, что четные подходящие дроби приближаются к числу монотонно возрастая и оставаясь все время не больше, чем Нечетные подходящие дроби приближаются к монотонно убывая и оставаясь все время не меньше, При этом равняться - может лишь последняя подходящая дробь. Итак, мы имеем:

Знак равенства имеет место слева, если и справа, если

Оценим теперь отклонение подходящей дроби от числа Для этого воспользуемся доказанным выше утверждением: при любом число — лежит между подходящими дробями Из него вытекает, что

Но

По формуле (1) из п. 6 имеем:

а потому

Из формул (1) и (2) следует, что

Так как , то