Глава III. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

§ 1. Степени с целым показателем

1. Обобщение понятия степени.

Мы определили выше степень с натуральным показателем. Ясно, что это определение не годится ни для целых отрицательных, ни для дробных показателей — нельзя взять число сомножителем ни —5, ни — раза. В то же время для многих задач физики нужно определить не только степень с рациональным показателем, но даже и степень с иррациональным показателем.

В физике часто встречаются величины, обладающие следующим свойством: за равные промежутки времени величина изменяется в одно и то же число раз. Например, если за первый час своего изменения величина уменьшилась втрое, то и за десятый час она тоже уменьшится втрое. Примером такой величины является масса радиоактивного вещества. Пусть в начале наблюдения был 1 кг этого вещества, а после первых суток осталось а кг, то есть количество вещества изменилось в а раз. Тогда, как показывают хшыты, в течение вторых суток количество вещества тоже изменится в а раз. Поэтому после вторых суток останется кг вещества. Точно так же в течение третьих суток количество вещества изменится в а раз, и потому останется кг вещества.

Таким же образом изменяются все остальные величины, обладающие указанным выше свойством. Именно если в начале наблюдения значение этой величины равняется а через 1 единицу времени это значение изменилось в а раз и стало равно , то через единиц времени значение величины равно

Поскольку величина промежутка времени стоит в показателе формулы (1), закон изменения (1) называют показательным.

Формула (1) не дает ответа на вопросы, чему равно значение величины через — единицы времени, или за 3 единицы времени до начала наблюдения и т. д.

Естественно обозначить значение величины через единиц времени после начала наблюдения так: При этом может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным (в последнем случае речь идет о моментах времени, предшествовавших началу наблюдения). Но чтобы формула получила смысл, надо обобщить понятие о степени, ввести степени не только с натуральными, но и с произвольными показателями. В этом параграфе мы решим задачу о распространении понятия степени на случай целых показателей — положительных, отрицательных и равных нулю. Следующий параграф будет посвящен обобщению этого понятия на случай дробных показателей. Более общее понятие степени будет рассмотрено в курсе математического анализа.

При обобщении понятия степени мы будем руководствоваться следующим требованием.

Для степеней с любыми показателями должны оставаться в силе основные свойства степеней с натуральными показателями:

Иными словами, эти свойства должны оставаться справедливыми не только для натуральных, но и для любых показателей. Обычно мы будем пользоваться одним из этих свойств для введения соответствующего определения, после чего будем проверять выполнение остальных свойств.

Отметим, что два подхода — с точки зрения физики и с точки зрения математики — согласуются друг с другом.

Выясним физический смысл свойств 3) и 5). Пусть сначала прошло единиц времени, а потом единиц времени. За первые единиц времени величина изменится в раз, а за следующие единиц времени она изменится в раз. Поэтому за единиц времени она изменится в атап раз. Но, с другой стороны, за единиц времени она изменяется в раз.

Значит, должно выполняться равенство атап . При этом тип могут быть произвольными, а не только натуральными числами.

Аналогично истолковывается смысл свойства 5). Примем единиц времени за новую единицу измерения (например, перейдем от секунд к минутам или часам). Тогда за одну новую единицу измерения времени наша величина изменяется в раз, а за новых единиц времени — в то есть в раз. Но новых единиц времени равно первоначальных единиц, а по условию за единиц времени величина меняется в раз. Значит, . И здесь тип могут быть любыми, а не только натуральными числами.