3. Уравнения.
Обычно когда даны две функции 
то неизвестно, каково множество, на котором эти функции
тождественно равны. Поэтому возникает следующая задача: найти все значения х, для которых выполняется равенство
При такой постановке задачи 
называют уравнением с неизвестным х, а все х, при которых функции 
принимают одинаковые значения, — корнями или решениями этого уравнения.
Итак, уравнение 
выражает задачу об отыскании таких значений переменного х, при которых функции 
имеют одинаковые значения. Решить уравнение — это значит найти все такие значения х, т. е. все корни (решения) уравнения.
Областью допустимых значений для уравнения (1) называют множество всех х, при которых определены обе функции 
Например, для уравнения
область допустимых значений определяется условиями:
Область допустимых значений может заранее ограничиваться некоторыми условиями. Например, могут иметь смысл лишь положительные или лишь целые корни. В этом случае надо рассматривать уравнение лишь для положительных (или целых) значений х.
Тогда мы считаем, что функции 
заданы на некотором множестве X, и рассматриваем уравнение лишь на этом множестве.
Пусть даны два уравнения
и
Обозначим множество корней уравнения (1) через М, а множество корней уравнения (2) через N. Если 
(то есть, если всякий корень уравнения (1) является корнем уравнения (2)), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Например, уравнение
является следствием уравнения 
. В самом деле, корнем уравнения 
является 
а при этом значении многочлен 
обращается в нуль.
Если множества М и 
корней уравнений (1) и (2) совпадают, то эти уравнения называются равносильными. Иными словами, уравнения
и
равносильны, если всякий корень уравнения (2) является корнем уравнения (3) и, обратно, всякий корень уравнения (3) является корнем уравнения 
В частности, уравнения равносильны, если множества М и 
— пусты, то есть если каждое из уравнений не имеет решений.
Если уравнения (2) и (3) равносильны, то каждое из них является следствием другого.
Следует отметить, что понятие равносильности уравнений существенно зависит от того, какие значения корней считаются допустимыми. Рассмотрим, например, уравнения:
и
Корнями первого уравнения является число 
а второго — числа 
Так как эти множества различны, то уравнения (4) и (5) не являются равносильными. Но если рассматривать лишь рациональные значения корней уравнения, то уравнения (4) и (5) оказываются равносильными — ибо они имеют по единственному рациональному корню 
. Как правило, мы будем в дальнейшем рассматривать равносильность относительно множества всех действительных чисел. Иными словами, уравнения будут считаться равносильными, если они имеют одни и те же действительные корни.
Упражнения
(см. скан)
